Samengestelde interest

Rente laten we op rente komen op het moment dat die meerdere keren wordt toegepast. Als we een schuld hebben waarover één keer per jaar rente wordt berekend en we zijn vijf jaar schuldig, dan wordt er vijf keer rente berekend. Dan spreken we van samengestelde interest, ofwel rente op rente.

Samengestelde interest

Als er meerdere keren rente over een schuld wordt berekend, spreken we van samengestelde interest. In de vorige formule gebruikten we procenten, in de volgende is het eenvoudiger om het percentage om te zetten in een gewoon decimaal getal. Dat doen we simpel: we delen het percentage door honderd. Als de rente 50% was, krijg je de waarde 0,5, dus een half. Als de rente 7% was, krijg je het getal 0,07. Dit decimale getal noteer ik met de letter “r”. De formule kan er zo uitzien:

$$r=\frac{\text{rentevoet}}{100}$$

Als we de schuld met dit getal vermenigvuldigen, krijgen we meteen de rente. Stel dat oom Henk ons € 20 000 heeft geleend met een jaarlijkse rente van 10%. Als decimaal getal is dat 0,1. Na een jaar hebben we dus 20 000 · 0,1 = 2000 euro rente. We betalen dus € 2000 meer dan we hebben geleend. Hoeveel rente is het volgend jaar? We moeten het oorspronkelijke bedrag nemen, de eerste rente erbij optellen en weer met 0,1 vermenigvuldigen:

$$(20000+2000)\cdot 0,1=2200$$

Een jaar later zouden we dus € 2200 aan rente betalen, meer dan in het eerste jaar.

Als we meteen de schuld willen weten, en niet alleen de rente, hoeven we alleen bij de rente in de vorm van een decimaal getal één op te tellen en de schuld met die uitdrukking te vermenigvuldigen:

$$20000\cdot 1,1=22000$$

Na het eerste jaar zijn we dus € 22 000 schuldig. Als we de schuld na drie jaar willen uitrekenen, vermenigvuldigen we meerdere keren achter elkaar met 1,1:

$$((20000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=26620$$

Hieruit tekent zich langzaam de formule af. Bij vermenigvuldigen maakt de volgorde niet uit, en de haakjes ook niet, dus we kunnen de uitdrukking zo herschrijven:

$$20000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

En dat schrijven we dan gewoon op met een macht:

$$20000\cdot 1,1^3$$

Hieruit kunnen we gemakkelijk de algemene formule afleiden.

De uiteindelijke formule voor samengestelde interest

Hier volgt de formule voor de hele samengestelde interest, die ik daarna uitleg:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t$$

De letter “K” staat voor het kapitaal, dus de schuld. De index geeft aan hoeveel keer er al rente is bijgeschreven. Het symbool K₀ is dus het bedrag waarover nog geen rente is berekend: het bedrag dat we aan het begin hebben gekregen (€ 20 000 van oom Henk). De letter “t” geeft het aantal keren aan dat we rente willen berekenen. Als we tien jaar vooruit willen rekenen, geldt t = 10. Het symbool K_t is dan de uiteindelijke schuld na t keer rente. De letter “r” is het rentepercentage als decimaal getal (zie hierboven). De uitdrukking 1 + r is de groeifactor.

We rekenen uit hoeveel rente we zouden betalen als we het hele bedrag pas na 15 jaar aan oom Henk terugbetaalden:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t=20000\cdot (1+0,1{)}^{15}\approx 83544,96$$

Let op: dit is niet de rente zelf, maar de uiteindelijke schuld. Als we alleen de rente willen weten, moeten we de oorspronkelijke schuld nog aftrekken, dus € 20 000 eraf: € 63 544,96.

Voorbeeld

Daan wilde een nieuwe auto kopen, maar die kon hij natuurlijk niet betalen, dus leende hij € 25 000. De rentevoet was 8% en er werd elk jaar rente berekend. Daan gaf veel geld uit, dus hij loste in het eerste jaar maar duizend euro af. De schuld daalde naar € 24 000. Maar bij de jaarwisseling werd de rente berekend, en die kwam uit op 24 000 · 0,08 = 1920. Met Nieuwjaar was Daan dus al 24 000 + 1920 = 25 920 euro schuldig. Dat is meer dan in het begin.

Daan maakte zich er niet druk om en loste weer maar € 1000 af. Hij was dus € 24 920 schuldig. Na de rentebijschrijving sprong dat naar € 26 913,60. De schuld was hoger dan vorig jaar en dan het jaar daarvoor. Het drong niet tot Daan door en hij bleef maar € 1000 per jaar aflossen. Hij loste af tot het einde van zijn leven en overleed toch met een enorme schuld. Zo liever niet.

Verder lezen

Het getal van Euler hangt nauw samen met samengestelde interest. Lees dus zeker waar het getal van Euler vandaan komt. En samengestelde interest heb je nodig als je wilt weten hoe je de rente bij een hypotheek berekent.