Juros compostos
Os juros se compõem quando precisamos aplicá-los várias vezes. Se temos, assim, uma dívida sobre a qual os juros incidem uma vez por ano e devemos por cinco anos, os juros serão aplicados cinco vezes — falamos então de juros compostos.
Juros compostos
Se os juros incidem várias vezes sobre o saldo devedor, falamos de juros compostos. Na fórmula anterior usamos porcentagens; na seguinte será mais simples converter a porcentagem em um número decimal comum. Fazemos isso simplesmente dividindo a porcentagem por cem. Se tínhamos juros de 50%, obtemos o valor 0,5, isto é, um meio. Se os juros eram de 7%, obtemos o número 0,07. Vou indicar esse número decimal pela letra “i”. A fórmula poderia ser assim:
Se multiplicarmos o capital por esse número, obtemos diretamente os juros. Suponha que o tio Vítor nos tenha emprestado dois milhões de reais com juros anuais de 10%. Em número decimal, 0,1. Depois de um ano, temos, então, juros de 2.000.000 · 0,1 = 200.000. Ou seja, pagamos R$ 200.000 a mais do que pegamos emprestado. Quais serão os juros no ano seguinte? Precisamos pegar o valor original, somar os primeiros juros e multiplicar novamente por 0,1:
Um ano depois, já pagaríamos R$ 220.000 de juros, ou seja, mais do que no primeiro ano.
Se quisermos obter diretamente o saldo devedor, e não apenas os juros, basta somar um à taxa de juros em forma de número decimal e multiplicar o capital por essa expressão:
Depois do primeiro ano, deveríamos, portanto, R$ 2.200.000. Se quisermos calcular o saldo devedor depois de três anos, multiplicamos por 1,1 várias vezes seguidas:
Daqui já vai surgindo aos poucos a fórmula, porque na multiplicação a ordem e os parênteses não importam, então podemos reescrever a expressão assim:
E isso agora é só reescrever com potências:
A partir daqui, já podemos deduzir sem dificuldade a fórmula geral.
A fórmula final dos juros compostos
A seguir vem a fórmula dos juros compostos completa, que explico depois:
A letra “C” representa o capital, isto é, o saldo devedor inicial, e “M” é o montante. Assim, C é o valor que ainda não passou por nenhuma capitalização — é o valor que recebemos no começo (os dois milhões do tio Vítor). A letra “t” indica o número de capitalizações que queremos calcular. Se queremos calcular para dez anos à frente, vale t = 10. O símbolo M indica o saldo devedor resultante depois de t capitalizações. A letra “i” indica a taxa de juros em notação decimal (veja acima).
Vamos calcular quanto pagaríamos de juros se devolvêssemos todo o valor ao tio Vítor só depois de 15 anos:
Observe que isso não é diretamente o valor dos juros, mas o saldo devedor final. Se quiséssemos apenas os juros, teríamos de subtrair o capital original, isto é, ainda menos dois milhões: R$ 6.354.496.
Exemplo
Pedro queria comprar um carro novo e, claro, não tinha dinheiro, então pegou emprestado meio milhão, 500.000 reais. A taxa de juros era de 8% e os juros eram calculados sempre a cada ano. Pedro gastava demais, então no primeiro ano pagou apenas vinte mil, 20.000 reais. O saldo devedor diminuiu para R$ 480.000. Só que na virada do ano os juros foram calculados e ficaram em 480.000 · 0,08 = 38.400. No Ano-Novo, Pedro já devia 480.000 + 38.400 = 518.400 reais. Isso é mais do que no começo.
Isso não preocupou Pedro de modo algum, e ele de novo pagou apenas 20.000. Passou a dever R$ 498.400. Depois da capitalização, subiu para R$ 538.272. O saldo devedor estava maior que no ano passado e que no ano retrasado. Pedro não percebeu e continuou pagando apenas 20.000 por ano. Pagou assim até o fim da vida e, mesmo assim, morreu com uma dívida de milhões. Assim é melhor não.
Para ler mais
Os juros compostos estão intimamente ligados ao número de Euler. Não deixe, portanto, de ler de onde veio o número de Euler. E você vai precisar dos juros compostos se quiser saber como calcular os juros de um financiamento imobiliário.
Capítulos: Juros, Juros compostos, Inflação, Capitalização mensal, Como calcular os juros de um financiamento imobiliário
