Interés compuesto

El interés se compone cuando hay que aplicarlo varias veces. Si tenemos una deuda que se capitaliza una vez al año y debemos dinero durante cinco años, la deuda se capitalizará cinco veces; hablamos entonces de interés compuesto.

Interés compuesto

Cuando el capital pendiente se capitaliza varias veces, se habla de interés compuesto. En la fórmula anterior usábamos porcentajes; en la siguiente será más sencillo convertir el porcentaje en un número decimal corriente. Lo hacemos fácilmente: dividimos el porcentaje entre cien. Si teníamos un interés del 50 %, obtienes el valor 0,5, es decir, un medio. Si el interés era del 7 %, obtienes el número 0,07. Este número decimal lo voy a designar con la letra «i». La fórmula podría ser así:

$$i=\frac{\text{tipo de interés}}{100}$$

Si multiplicamos el capital pendiente por este número, obtenemos directamente el interés. Supongamos que el tío Víctor nos prestó ochenta mil euros con un interés anual del 10 %. En número decimal, 0,1. Al cabo de un año tenemos, pues, un interés de 80.000 · 0,1 = 8000. Es decir, pagaremos 8000 más de lo que pedimos prestado. ¿Qué interés habrá el año siguiente? Tenemos que tomar la cantidad original, sumarle el primer interés y volver a multiplicar por 0,1:

$$(80.000+8000)\cdot 0,1=8800$$

Un año más tarde pagaríamos ya 8800 de intereses, es decir, más que en el primer año.

Si queremos obtener directamente el capital pendiente, y no solo el interés, basta sumar uno al tipo de interés en forma de número decimal y multiplicar el capital pendiente por esta expresión:

$$80.000\cdot 1,1=88.000$$

Después del primer año deberíamos, pues, 88.000. Si queremos calcular el capital pendiente después de tres años, multiplicamos por 1,1 varias veces seguidas:

$$((80.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=106.480$$

De aquí ya se va perfilando la fórmula, porque en la multiplicación no importa el orden ni los paréntesis, así que podemos reescribir la expresión así:

$$80.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Y esto lo reescribimos con potencias:

$$80.000\cdot 1,1^3$$

De aquí ya podemos deducir sin problemas la fórmula general.

Fórmula final del interés compuesto

A continuación tienes la fórmula completa del interés compuesto, que explico después:

$$C_t=C_0\cdot (1+i{)}^t$$

La letra «C» representa el capital, es decir, el capital pendiente. El subíndice indica cuántas capitalizaciones lleva ya. El símbolo C₀ designa, así, la cantidad que aún no ha pasado por ninguna capitalización —es la cantidad que recibimos al principio (los ochenta mil euros del tío Víctor)—. La letra «t» indica el número de capitalizaciones que queremos calcular. Si queremos calcular a diez años vista, se cumplirá t = 10. El símbolo C_t designa entonces el capital pendiente resultante después de t capitalizaciones. La letra «i» designa el tipo de interés en notación decimal (véase más arriba).

Calculemos qué interés pagaríamos si devolviéramos toda la cantidad al tío Víctor al cabo de 15 años:

$$C_t=C_0\cdot (1+i{)}^t=80.000\cdot (1+0,1{)}^{15}=334.179,85$$

Te advierto de que esto no es directamente el interés, sino el capital pendiente resultante. Si quisiéramos solo el interés, tendríamos que restarle el capital pendiente original, es decir, los ochenta mil euros: 254.179,85.

Ejemplo

Pablo quería comprarse un coche nuevo y, naturalmente, no tenía dinero para pagarlo, así que pidió prestados veinte mil euros, 20.000. El tipo de interés era del 8 % y se capitalizaba una vez al año. Pablo era muy derrochador, así que el primer año solo devolvió ochocientos euros, 800. El capital pendiente bajó a 19.200. Pero a final de año tocó capitalizar y el interés salió de 19.200 · 0,08 = 1536. El día de Año Nuevo Pablo debía ya 19.200 + 1536 = 20.736. Eso es más que al principio.

A Pablo esto no le inquietó lo más mínimo y volvió a devolver solo 800. Debía, pues, 19.936. Después de la capitalización subió a 21.530,88. El capital pendiente era mayor que el año pasado y que el anterior. Pablo no se dio cuenta y siguió devolviendo solo 800 al año. Lo estuvo pagando hasta el final de su vida y aun así murió con una deuda enorme. Mejor no hacer las cosas así.

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