Rentesrente

Når renten skal legges til flere ganger, får vi rente på renten. Hvis vi har en gjeld som forrentes én gang i året og vi skylder i fem år, forrentes gjelden fem ganger — da snakker vi om rentesrente.

Rentesrente

Hvis gjelden forrentes flere ganger, snakker vi om rentesrente. I forrige formel brukte vi prosent, men i den følgende er det enklere å gjøre prosentene om til et vanlig desimaltall. Det gjør vi enkelt ved å dele prosenttallet på hundre. Hvis renten var 50 %, får du verdien 0,5, altså en halv. Hvis renten var 7 %, får du tallet 0,07. Dette desimaltallet skriver jeg med bokstaven «r». Formelen kan se slik ut:

$$r=\frac{\text{rentesats}}{100}$$

Hvis vi ganger gjelden med dette tallet, får vi renten direkte. La oss anta at onkel Vik har lånt oss to millioner kroner med 10 % rente i året. Som desimaltall er det 0,1. Etter ett år har vi da renten 2 000 000 · 0,1 = 200 000. Vi betaler altså 200 000 mer enn vi lånte. Hva blir renten neste år? Vi må ta det opprinnelige beløpet, legge til den første renten og igjen gange med 0,1:

$$(2000000+200000)\cdot 0,1=220000$$

Ett år senere ville vi betalt 220 000 i renter, altså mer enn det første året.

Hvis vi vil ha selve gjelden, ikke bare renten, er det nok å legge til én til rentesatsen som desimaltall og gange gjelden med dette uttrykket:

$$2000000\cdot 1,1=2200000$$

Etter det første året ville vi altså skylde 2 200 000. Hvis vi vil regne ut gjelden etter tre år, ganger vi med 1,1 flere ganger etter hverandre:

$$((2000000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=2662000$$

Herfra begynner formelen å tre fram, for ved multiplikasjon spiller verken rekkefølgen eller parentesene noen rolle, så vi kan skrive om uttrykket slik:

$$2000000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Og det skriver vi bare om med potenser:

$$2000000\cdot 1,1^3$$

Herfra kan vi lett utlede den generelle formelen.

Den endelige formelen for rentesrente

Her kommer formelen for rentesrente, og så forklarer jeg den:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t$$

Bokstaven «K» står for kapitalen, altså gjelden. Den nedre indeksen angir hvor mange renteberegninger som er gjort. Symbolet K₀ betyr dermed beløpet som ennå ikke har vært gjennom noen renteberegning — det er beløpet vi fikk i begynnelsen (de to millionene fra onkel Vik). Bokstaven «t» angir antall renteberegninger vi vil regne med. Hvis vi vil regne ti år fram i tid, gjelder t = 10. Symbolet K_t betyr da den endelige gjelden etter t renteberegninger. Bokstaven «r» betyr rentesatsen skrevet som desimaltall (se over).

La oss regne ut hvor mye vi ville betalt i renter hvis vi betalte hele beløpet tilbake til onkel Vik først etter 15 år:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t=2000000\cdot (1+0,1{)}^{15}=8354496$$

Merk at dette ikke er selve renten, men den endelige gjelden. Hvis vi bare ville ha renten, måtte vi trekke fra den opprinnelige gjelden, altså to millioner til: 6 354 496.

Eksempel

Henrik ville kjøpe en ny bil, og det hadde han selvsagt ikke råd til, så han lånte en halv million, 500 000. Rentesatsen var 8 %, og det ble lagt til rente hvert år. Henrik brukte mye penger, så det første året betalte han bare ned tjue tusen, 20 000. Gjelden sank til 480 000. Men ved årsskiftet ble renten lagt til, og renten ble regnet ut til 480 000 · 0,08 = 38 400. Nyttårsdag skyldte Henrik dermed 480 000 + 38 400 = 518 400. Det er mer enn i begynnelsen.

Henrik lot seg ikke bekymre og betalte igjen bare 20 000. Han skyldte altså 498 400. Etter at renten var lagt til, var det oppe i 538 272. Gjelden var høyere enn i fjor og året før. Henrik forsto det ikke og fortsatte å betale bare 20 000 i året. Han betalte ned resten av livet og døde likevel med en gjeld på flere millioner. Slik bør du helst ikke gjøre det.

Videre lesning

Rentesrente henger nøye sammen med Eulers tall. Husk derfor å lese hvor Eulers tall kommer fra. Og rentesrente trenger du hvis du vil vite hvordan du regner ut renter på et boliglån.