Dobânda compusă

Dobânda se compune în momentul în care trebuie aplicată de mai multe ori. Dacă avem o datorie care se capitalizează o dată pe an și o datorăm timp de cinci ani, datoria va fi capitalizată de cinci ori – vorbim atunci de dobândă compusă.

Dobânda compusă

Dacă suma datorată se capitalizează de mai multe ori, se vorbește despre dobândă compusă. În formula precedentă am folosit procentele, în următoarea va fi mai simplu să transformăm procentele într-un număr zecimal obișnuit. Facem asta simplu, împărțim procentele la o sută. Dacă dobânda era 50%, obținem valoarea 0,5, adică o jumătate. Dacă dobânda era 7%, obținem numărul 0,07. Voi nota acest număr zecimal cu litera „d”. Formula ar putea arăta astfel:

$$d=\frac{\text{rata dobânzii}}{100}$$

Dacă înmulțim suma datorată cu acest număr, obținem direct dobânda. Să presupunem că unchiul Vik ne-a împrumutat patru sute de mii de lei cu o dobândă anuală de 10%. În număr zecimal, 0,1. După un an avem deci dobânda 400.000 · 0,1 = 40.000. Adică plătim cu 40.000 mai mult decât am împrumutat. Cât va fi dobânda în anul următor? Trebuie să luăm suma inițială, să adăugăm prima dobândă și să înmulțim din nou cu 0,1:

$$(400.000+40.000)\cdot 0,1=44.000$$

Peste încă un an am plăti dobânzi de 44.000, deci mai mult decât în primul an.

Dacă vrem să obținem direct suma datorată, nu doar dobânda, este suficient să adăugăm 1 la rata dobânzii scrisă ca număr zecimal și să înmulțim suma datorată cu această expresie:

$$400.000\cdot 1,1=440.000$$

După primul an am datora deci 440.000. Dacă vrem să calculăm suma datorată după trei ani, înmulțim cu 1,1 de mai multe ori la rând:

$$((400.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=532.400$$

De aici începe încet să se contureze formula, pentru că la înmulțire nu contează nici ordinea, nici parantezele, deci expresia o putem rescrie astfel:

$$400.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Iar aceasta o rescriem cu ajutorul puterilor:

$$400.000\cdot 1,1^3$$

De aici putem deduce lesne formula generală.

Formula finală a dobânzii compuse

Urmează formula întregii dobânzi compuse, pe care o explic în continuare:

$$C_t=C_0\cdot (1+d{)}^t$$

Litera „C” reprezintă capitalul, adică suma datorată. Indicele inferior arată câte capitalizări a parcurs deja. Simbolul C₀ notează deci suma care nu a trecut încă prin nicio capitalizare – este suma pe care am primit-o la început (patru sute de mii de la unchiul Vik). Litera „t” indică numărul de capitalizări pe care vrem să le calculăm. Dacă vrem să calculăm pentru zece ani înainte, avem t = 10. Simbolul C_t notează suma datorată rezultată după t capitalizări. Litera „d” notează rata dobânzii în scriere zecimală (vezi mai sus).

Să calculăm ce dobândă am plăti dacă am returna întreaga sumă unchiului Vik abia peste 15 ani:

$$C_t=C_0\cdot (1+d{)}^t=400.000\cdot (1+0,1{)}^{15}\approx 1.670.899$$

Atenție, aceasta nu este direct dobânda, ci suma datorată rezultată. Dacă am vrea doar dobânda, ar trebui să scădem suma datorată inițială, adică încă minus patru sute de mii: 1.270.899.

Exemplu

Paul a vrut să-și cumpere o mașină nouă, desigur că nu avea bani, așa că a împrumutat o sută de mii de lei, 100.000. Rata dobânzii a fost 8%, iar capitalizarea se făcea în fiecare an. Paul cheltuia mult, așa că în primul an a rambursat doar patru mii, 4000. Suma datorată a scăzut la 96.000. Dar la cumpăna dintre ani s-a făcut capitalizarea și dobânda a ieșit 96.000 · 0,08 = 7680. De Anul Nou, Paul datora deci 96.000 + 7680 = 103.680. Asta este mai mult decât la început.

Asta nu l-a neliniștit deloc pe Paul și a rambursat din nou doar 4000. Datora astfel 99.680. După capitalizare a ajuns la 107.654,40. Suma datorată era mai mare decât anul trecut și decât cu doi ani în urmă. Paul nu și-a dat seama și a continuat să ramburseze doar 4000 pe an. A rambursat așa toată viața și tot a murit cu o datorie uriașă. Mai bine să nu faci așa.

Lectură suplimentară

Cu dobânda compusă este strâns legat numărul lui Euler. Nu uita deci să citești de unde a apărut numărul lui Euler. Iar dobânda compusă îți va trebui dacă vrei să știi cum îți calculezi dobânda la un credit ipotecar.