Сложна лихва

Лихвата се натрупва, когато трябва да я приложим няколко пъти. Ако имаме дълг, който се олихвява веднъж годишно, и дължим пет години, дългът ще бъде олихвен пет пъти – тогава говорим за сложна лихва.

Сложна лихва

Ако дължимата сума се олихвява няколко пъти, говорим за сложна лихва. В предишната формула използвахме проценти, а в следващата ще е по-просто да превърнем процентите в обикновено десетично число. Това правим лесно – делим процентите на сто. Ако лихвата е била 50%, получаваш стойност 0,5, т.е. една половина. Ако лихвата е била 7%, получаваш числото 0,07. Това десетично число ще означавам с буквата „d“. Формулата би могла да изглежда така:

$$d=\frac{\text{лихвен процент}}{100}$$

Ако с това число умножим дължимата сума, получаваме направо лихвата. Да предположим, че чичо Виктор ни е заел двадесет хиляди евро с годишна лихва 10%. В десетично число 0,1. Следователно след една година имаме лихва 20 000 · 0,1 = 2000. Т.е. плащаме с 2000 повече, отколкото сме заели. Каква ще бъде лихвата през следващата година? Трябва да вземем първоначалната сума, да прибавим първата лихва и отново да умножим по 0,1:

$$(20000+2000)\cdot 0,1=2200$$

Една година по-късно вече бихме платили 2200 лихва, т.е. повече, отколкото през първата година.

Ако искаме да получим направо дължимата сума, а не само лихвата, достатъчно е към лихвения процент във вид на десетично число да прибавим единица и с този израз да умножим дължимата сума:

$$20000\cdot 1,1=22000$$

След първата година бихме дължали 22 000. Ако искаме да пресметнем дължимата сума след три години, умножаваме по 1,1 няколко пъти поред:

$$((20000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=26620$$

От това вече бавно се очертава формулата, защото при умножението редът и скобите нямат значение, така че изразът може да се запише така:

$$20000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

А това просто записваме с помощта на степени:

$$20000\cdot 1,1^3$$

От това вече можем гладко да изведем общата формула.

Крайна формула за сложна лихва

Ето формулата за сложната лихва, по-нататък ще я обясня:

$$K_n=K\cdot {(1+\frac{p}{100})}^n$$

Буквата „K“ представлява главницата, т.е. дължимата сума в началото. Символът K_n означава получената дължима сума след n олихвявания. Буквата „n“ е броят на олихвяванията, които искаме да пресметнем. Ако искаме да пресметнем за десет години напред, ще бъде n = 10. Буквата „p“ е лихвеният процент (в проценти), а $\frac{p}{100}$ е лихвеният процент в десетичен запис (виж по-горе).

Нека пресметнем каква лихва бихме платили, ако върнем цялата сума на чичо Виктор чак след 15 години:

$$K_n=K\cdot {(1+\frac{p}{100})}^n=20000\cdot (1+0,1{)}^{15}=83544,96$$

Обръщам внимание, че това не е направо лихвата, а получената дължима сума. Ако искаме само лихвата, трябва да извадим първоначалната дължима сума, т.е. още минус двадесет хиляди: 63 544,96 евро.

Пример

Георги искаше да си купи нова кола, разбира се, нямаше пари за нея, така че взе назаем двадесет хиляди евро, 20 000. Лихвеният процент беше 8% и олихвяването ставаше всяка година. Георги много пилееше, така че през първата година изплати само осемстотин евро, 800. Дължимата сума падна на 19 200. Само че в края на годината се олихви и лихвата се пресметна на 19 200 · 0,08 = 1536. На Нова година Георги вече дължеше 19 200 + 1536 = 20 736. Това е повече, отколкото в началото.

Това никак не разтревожи Георги и той отново изплати само 800. Така дължеше 19 936. След олихвяването стана 21 530,88. Дължимата сума беше по-висока от миналата година и от по-миналата. Георги не го разбра и продължи да изплаща само по 800 годишно. Изплащаше дълга до края на живота си и въпреки това умря с дълг, многократно по-голям от първоначалния. Така не бива.

Допълнително четиво

Със сложната лихва е тясно свързано числото на Ойлер. Затова не забравяй да прочетеш откъде идва числото на Ойлер. А сложната лихва ще ти трябва, ако искаш да знаеш как да изчислим лихвите по ипотека.