Zinseszins

Zinsen werden zusammengesetzt, sobald wir sie mehrmals anwenden müssen. Haben wir also eine Schuld, die einmal im Jahr verzinst wird, und schulden wir sie fünf Jahre lang, wird die Schuld fünfmal verzinst – dann sprechen wir von Zinseszins.

Zinseszins

Wird die Restschuld mehrmals verzinst, spricht man von Zinseszins. In der vorigen Formel haben wir Prozente verwendet, in der folgenden ist es einfacher, die Prozentangabe in eine gewöhnliche Dezimalzahl umzuwandeln. Das geht ganz einfach, wir teilen die Prozentzahl durch hundert. Hatten wir einen Zinssatz von 50 %, erhalten wir den Wert 0,5, also die Hälfte. Waren es 7 %, erhalten wir die Zahl 0,07. Diese Dezimalzahl werde ich mit dem Buchstaben „d“ bezeichnen. Die Formel könnte so aussehen:

$$d=\frac{\text{Zinssatz}}{100}$$

Wenn wir mit dieser Zahl die Restschuld multiplizieren, erhalten wir direkt die Zinsen. Nehmen wir an, Onkel Vik hat uns 80.000 € mit einem jährlichen Zinssatz von 10 % geliehen. Als Dezimalzahl 0,1. Nach einem Jahr haben wir also die Zinsen 80.000 · 0,1 = 8.000. Wir zahlen also 8.000 mehr zurück, als wir geliehen haben. Wie hoch sind die Zinsen im nächsten Jahr? Wir müssen den ursprünglichen Betrag nehmen, die ersten Zinsen addieren und wieder mit 0,1 multiplizieren:

$$(80.000+8.000)\cdot 0,1=8.800$$

Ein Jahr später würden wir schon 8.800 an Zinsen zahlen, also mehr als im ersten Jahr.

Wollen wir direkt die Restschuld erhalten und nicht nur die Zinsen, genügt es, zum Zinssatz in Form der Dezimalzahl eins zu addieren und mit diesem Term die Restschuld zu multiplizieren:

$$80.000\cdot 1,1=88.000$$

Nach dem ersten Jahr würden wir also 88.000 schulden. Wollen wir die Restschuld nach drei Jahren berechnen, multiplizieren wir mehrmals hintereinander mit 1,1:

$$((80.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=106.480$$

Daraus zeichnet sich langsam eine Formel ab, denn bei der Multiplikation kommt es weder auf die Reihenfolge noch auf die Klammern an, also können wir den Term so umschreiben:

$$80.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Und das schreiben wir nur noch mithilfe von Potenzen um:

$$80.000\cdot 1,1^3$$

Daraus können wir ohne Mühe die allgemeine Formel herleiten.

Die endgültige Formel mit Zinseszins

Es folgt die Formel für den gesamten Zinseszins, danach erkläre ich sie:

$$K_t=K_0\cdot (1+d{)}^t$$

Der Buchstabe „K“ steht für das Kapital, also die Restschuld. Der tiefgestellte Index gibt an, wie viele Verzinsungen schon hinter uns liegen. Das Symbol K₀ bezeichnet also den Betrag, der noch keine Verzinsung durchlaufen hat – es ist der Betrag, den wir am Anfang bekommen haben (80.000 € von Onkel Vik). Der Buchstabe „t“ bezeichnet die Anzahl der Verzinsungen, die wir berechnen wollen. Wollen wir zehn Jahre im Voraus rechnen, gilt t = 10. Das Symbol K_t bezeichnet dann die resultierende Restschuld nach t Verzinsungen. Der Buchstabe „d“ steht für den Zinssatz in Dezimalschreibweise (siehe oben).

Versuchen wir zu berechnen, welche Zinsen wir zahlen würden, wenn wir den gesamten Betrag erst nach 15 Jahren an Onkel Vik zurückzahlen würden:

$$K_t=K_0\cdot (1+d{)}^t=80.000\cdot (1+0,1{)}^{15}\approx 334.180$$

Ich weise darauf hin, dass das nicht direkt die Zinsen sind, sondern die resultierende Restschuld. Wollten wir nur die Zinsen, müssten wir die ursprüngliche Restschuld abziehen, also noch minus 80.000 €: ungefähr 254.180 €.

Beispiel

Paul wollte sich ein neues Auto kaufen, natürlich hatte er dafür kein Geld, also lieh er sich 20.000 €. Der Zinssatz betrug 8 % und es wurde immer jährlich verzinst. Paul gab viel Geld aus, also zahlte er im ersten Jahr nur achthundert Euro zurück, 800 €. Die Restschuld sank auf 19.200 €. Aber zum Jahreswechsel wurde verzinst, und es kam so, dass die Zinsen mit 19.200 · 0,08 = 1.536 berechnet wurden. Zu Neujahr schuldete Paul also bereits 19.200 + 1.536 = 20.736 €. Das ist mehr als am Anfang.

Paul beunruhigte das nicht im Geringsten, und er zahlte wieder nur 800 € zurück. Er schuldete also 19.936 €. Nach der Verzinsung stieg die Schuld auf 21.530,88 €. Die Restschuld war höher als im letzten Jahr und als im Jahr davor. Paul ging das nicht auf, und er zahlte weiterhin nur 800 € im Jahr zurück. Er zahlte bis zum Ende seines Lebens und starb trotzdem mit einem Schuldenberg. So lieber nicht.

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Mit dem Zinseszins hängt die eulersche Zahl eng zusammen. Vergiss also nicht zu lesen, woher die eulersche Zahl kommt. Und den Zinseszins brauchst du, wenn du wissen willst, wie du die Zinsen bei einer Hypothek berechnest.