Intérêts composés

On compose les intérêts dès qu’on doit les appliquer plusieurs fois. Si nous avons une dette qui produit des intérêts une fois par an et que nous la devons pendant cinq ans, elle produira des intérêts cinq fois : on parle alors d’intérêts composés.

Intérêts composés

Quand la somme due produit des intérêts plusieurs fois, on parle d’intérêts composés. Dans la formule précédente, nous utilisions des pourcentages ; dans la suivante, il sera plus simple de transformer les pourcentages en un simple nombre décimal. C’est facile : on divise le pourcentage par cent. Pour un taux de 50 %, on obtient 0,5, c’est-à-dire un demi. Pour un taux de 7 %, on obtient 0,07. Je noterai ce nombre décimal par la lettre « t ». La formule pourrait ressembler à ceci :

$$t=\frac{\text{taux d’intérêt}}{100}$$

Si on multiplie la somme due par ce nombre, on obtient directement les intérêts. Supposons que l’oncle Vik nous ait prêté deux millions d’euros avec un taux annuel de 10 %. En nombre décimal, c’est 0,1. Après un an, les intérêts sont donc 2 000 000 · 0,1 = 200 000. Nous payons ainsi 200 000 de plus que ce que nous avons emprunté. Et quels seront les intérêts l’année suivante ? Il faut prendre la somme de départ, ajouter les premiers intérêts et multiplier de nouveau par 0,1 :

$$(2000000+200000)\cdot 0,1=220000$$

Un an plus tard, nous paierions donc 220 000 d’intérêts, soit plus que la première année.

Si on veut obtenir directement la somme due, et pas seulement les intérêts, il suffit d’ajouter un au taux écrit sous forme décimale et de multiplier la somme due par cette expression :

$$2000000\cdot 1,1=2200000$$

Au bout d’un an, nous devrions donc 2 200 000. Pour calculer la somme due au bout de trois ans, on multiplie plusieurs fois de suite par 1,1 :

$$((2000000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=2662000$$

On voit peu à peu se dessiner une formule : comme dans une multiplication l’ordre et les parenthèses n’ont pas d’importance, on peut réécrire l’expression ainsi :

$$2000000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Et il suffit de la réécrire à l’aide des puissances :

$$2000000\cdot 1,1^3$$

À partir de là, on peut facilement en déduire la formule générale.

La formule finale des intérêts composés

Voici la formule complète des intérêts composés ; je l’explique juste après :

$$C_n=C_0\cdot (1+t{)}^n$$

La lettre « C » représente le capital, c’est-à-dire la somme due. L’indice indique combien de calculs d’intérêts ont déjà eu lieu. Le symbole C₀ désigne donc la somme qui n’a encore subi aucun calcul d’intérêts : c’est la somme que nous avons reçue au départ (les deux millions de l’oncle Vik). La lettre « n » désigne le nombre de calculs d’intérêts que nous voulons effectuer. Si on veut calculer sur dix ans, on a n = 10. Le symbole C_n désigne alors la somme due finale après n calculs d’intérêts. La lettre « t » désigne le taux d’intérêt en écriture décimale (voir plus haut).

Essayons de calculer quels intérêts nous paierions si nous ne rendions toute la somme à l’oncle Vik qu’au bout de 15 ans :

$$C_n=C_0\cdot (1+t{)}^n=2000000\cdot (1+0,1{)}^{15}=8354496$$

Attention, ce ne sont pas directement les intérêts, mais la somme due finale. Si on ne voulait que les intérêts, il faudrait soustraire la somme due de départ, donc encore moins deux millions : 6 354 496.

Exemple

Hugo voulait s’acheter une voiture neuve. Évidemment, il n’avait pas l’argent, alors il a emprunté un demi-million, 500 000. Le taux d’intérêt était de 8 % et les intérêts étaient calculés chaque année. Hugo dépensait sans compter, et la première année il n’a remboursé que vingt mille, 20 000. La somme due est descendue à 480 000. Mais au passage à la nouvelle année, les intérêts ont été calculés, et ils se sont élevés à 480 000 · 0,08 = 38 400. Au Nouvel An, Hugo devait donc déjà 480 000 + 38 400 = 518 400. C’est plus qu’au début.

Cela n’a pas inquiété Hugo le moins du monde, et il n’a de nouveau remboursé que 20 000. Il devait donc 498 400. Après le calcul des intérêts, on est monté à 538 272. La somme due était plus élevée que l’an dernier et que l’année d’avant. Hugo ne s’en est pas rendu compte et a continué à ne rembourser que 20 000 par an. Il a remboursé ainsi jusqu’à la fin de sa vie et il est quand même mort avec une dette de plusieurs millions. Mieux vaut éviter ça.

Pour aller plus loin

Le nombre d’Euler est étroitement lié aux intérêts composés. N’oublie donc pas de lire d’où vient le nombre d’Euler. Et tu auras besoin des intérêts composés si tu veux savoir comment calculer les intérêts d’un prêt immobilier.