Ränta på ränta

Ränta som läggs på flera gånger i följd kallas ränta på ränta. Om vi har en skuld som får ränta en gång om året och vi är skyldiga pengarna i fem år, läggs ränta på fem gånger — då talar vi om ränta på ränta.

Ränta på ränta

När skulden får ränta flera gånger talar man om ränta på ränta. I den tidigare formeln använde vi procent, men i den följande är det enklare att göra om procenten till ett vanligt decimaltal. Det gör vi genom att dividera procenttalet med hundra. Om räntan var 50 % får du talet 0,5, alltså en halv. Om räntan var 7 % får du talet 0,07. Det här decimaltalet kommer jag att beteckna med bokstaven ”p”. Formeln kan se ut så här:

$$p=\frac{\text{räntesats}}{100}$$

Om vi multiplicerar skulden med det här talet får vi räntan direkt. Anta att farbror Vik lånade ut två miljoner kronor till oss med en årlig ränta på 10 %. Som decimaltal är det 0,1. Efter ett år har vi alltså en ränta på 2 000 000 · 0,1 = 200 000. Vi betalar alltså 200 000 mer än vi lånade. Hur stor blir räntan nästa år? Vi måste ta den ursprungliga summan, lägga till den första räntan och återigen multiplicera med 0,1:

$$(2000000+200000)\cdot 0,1=220000$$

Ett år senare skulle vi betala 220 000 i ränta, alltså mer än det första året.

Om vi vill få fram själva skulden och inte bara räntan räcker det att lägga 1 till räntesatsen i decimalform och multiplicera skulden med det här uttrycket, förändringsfaktorn:

$$2000000\cdot 1,1=2200000$$

Efter det första året skulle vi alltså vara skyldiga 2 200 000. Om vi vill beräkna skulden efter tre år multiplicerar vi med 1,1 flera gånger i följd:

$$((2000000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=2662000$$

Av det här börjar en formel långsamt ta form, eftersom ordningen och parenteserna inte spelar någon roll vid multiplikation. Uttrycket kan vi därför skriva om så här:

$$2000000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Och det skriver vi bara om med hjälp av potenser:

$$2000000\cdot 1,1^3$$

Därifrån kan vi smidigt härleda den allmänna formeln.

Den slutliga formeln för ränta på ränta

Här kommer den fullständiga formeln för ränta på ränta, och sedan förklarar jag den:

$$K_t=K_0\cdot (1+p{)}^t$$

Bokstaven ”K” står för kapitalet, alltså skulden. Det nedsänkta talet anger hur många förräntningar som redan har gjorts. Symbolen K₀ betecknar därför den summa som ännu inte har fått någon ränta — det är den summa som vi fick i början (två miljoner av farbror Vik). Bokstaven ”t” anger antalet förräntningar som vi vill räkna med. Om vi vill räkna tio år framåt gäller t = 10. Symbolen K_t betecknar sedan den slutliga skulden efter t förräntningar. Bokstaven ”p” är räntesatsen i decimalform (se ovan).

Vi provar att beräkna vilken ränta vi skulle betala om vi först betalade tillbaka hela summan till farbror Vik efter 15 år:

$$K_t=K_0\cdot (1+p{)}^t=2000000\cdot (1+0,1{)}^{15}=8354496$$

Observera att det här inte är själva räntan, utan den slutliga skulden. Om vi bara ville ha räntan måste vi dra bort den ursprungliga skulden, alltså ytterligare två miljoner: 6 354 496.

Exempel

Oscar ville köpa en ny bil, men han hade förstås inte råd, så han lånade en halv miljon, 500 000. Räntesatsen var 8 % och räntan lades på varje år. Oscar slösade en hel del, så det första året betalade han bara av tjugotusen, 20 000. Skulden minskade till 480 000. Men vid årsskiftet lades räntan på, och det slutade med att räntan beräknades till 480 000 · 0,08 = 38 400. På nyårsdagen var Oscar alltså skyldig 480 000 + 38 400 = 518 400. Det är mer än i början.

Det oroade inte Oscar särskilt, och han betalade återigen bara 20 000. Han var då skyldig 498 400. Efter att räntan lagts på hade skulden ökat till 538 272. Skulden var högre än i fjol och än året före det. Oscar förstod ingenting och fortsatte att betala bara 20 000 per år. Han betalade så hela livet och dog ändå med en skuld på många miljoner. Så vill vi helst inte ha det.

Läs mer

Ränta på ränta hänger nära ihop med Eulers tal. Glöm därför inte att läsa var Eulers tal kommer ifrån. Och ränta på ränta behöver du om du vill veta hur du beräknar räntan på ett bolån.