Ирационални уравнения

Ирационално уравнение е уравнение, в което неизвестното е скрито под корен. Името не означава, че уравнението е неразумно, а само че в него се появяват корени, от които често излизат ирационални числа. Например това:

$$\sqrt{x+3}=5$$

От корена се освобождаваме, като повдигнем цялото уравнение на квадрат. Повдигането на квадрат и коренът взаимно се неутрализират, защото ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

За всеки случай правим и проверка: заместваме резултата поотделно в лявата страна на условието (Л) и поотделно в дясната (Д) и ги сравняваме.

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ \text{Д}& =& 5\end{array}$$

Получи се Л = Д, вярно е. Това заместване изглежда като прекалена старателност, но при ирационалните уравнения то е също толкова част от решението, колкото самото повдигане на степен; без него нямаш резултат. Целият метод се свежда до четири стъпки: изолиране на корена, повдигане на уравнението на степен, решаване на полученото уравнение и накрая проверка.

Защо проверката е задължителна

Повдигането на степен не е еквивалентно преобразуване. От равенството на две числа следва равенство на техните квадрати, но в обратната посока не е така: 3 ≠ − 3, а 3² = (−3)² = 9. Затова при повдигането на степен може да се получи уравнение с повече решения от първоначалното. Да разгледаме уравнението

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Повдигаме двете страни на квадрат и прехвърляме всичко в едната страна:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Получихме квадратно уравнение. Разлага се на (x − 2)(x + 1) = 0, следователно корените са x = 2 и x = −1. Идва ред на проверката, първо с двойката:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ \text{Д}& =& 2\end{array}$$

Двете страни са равни, Л = Д, значи двойката е решение. А минус едно?

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ \text{Д}& =& -1\end{array}$$

Отляво излезе едно, отдясно минус едно, така че Л ≠ Д. Минус едно не е решение, въпреки че пресмятането добросъвестно ни го изплю. Уравнението има единствено решение x = 2.

Откъде се взе този външен корен? Най-добре го показва чертежът. Лявата страна на уравнението е функцията $y=\sqrt{x+2}$ (в червено), дясната страна е правата y = x (в синьо). Решение на уравнението е мястото, където двете линии се пресичат, а това е само точката (2; 2), т.е. x = 2.

Със сива пунктирана линия е начертана функцията $y=-\sqrt{x+2}$. Когато повдигнем на квадрат $y=\sqrt{x+2}$ и $y=-\sqrt{x+2}$, минусът изчезва и от двете се получава едно и също y² = x + 2. Така повдигането на степен слива уравненията $\sqrt{x+2}=x$ и $-\sqrt{x+2}=x$ в едно и квадратното уравнение после намира пресечните точки и на двете. Сивата крива се среща с правата в точката (−1; −1) и именно оттам идва нашето минус едно. Такъв натрапник надеждно разкрива само проверката.

Чертежът издава още нещо: и двете графики с корен, червената и сивата, започват чак от x = −2. Под корена не може да има отрицателно число, така че уравнението има смисъл само за x ≥ − 2. Външният корен минус едно попада в този интервал, затова условието не го улавя. Разкрива го едва проверката.

Първо изолираме корена

Да се захванем с друго уравнение

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Много е изкушаващо веднага да повдигнем на квадрат лявата страна заедно с тройката. Но квадратът на сбор не се пресмята почленно, (a + b)² = a² + 2ab + b², така че би излязло

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

и коренът пак би дебнал в уравнението, само че в по-грозен вид. Затова първо изолираме корена от едната страна и повдигаме на квадрат чак след това:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Дясната страна повдигнахме на квадрат със същата формула, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Квадратното уравнение се разлага на (x − 6)(x − 2) = 0 с корени x = 6 и x = 2. Проверката започваме с шестицата:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ \text{Д}& =& 6\end{array}$$

Имаме Л = Д, шестицата е решение. Сега двойката:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ \text{Д}& =& 2\end{array}$$

Четворката не е двойка, Л ≠ Д. Капан. Решение е само x = 6.

Защо двойката се провали при проверката? След изолирането имахме $\sqrt{2x-3}=x-3$. Коренът никога не е отрицателен, така че уравнението може да е изпълнено само за x, при които x − 3 е поне нула. За x = 2 дясната страна е −1, а това никой корен не дава. Това условие можеш да провериш предварително, но заместването накрая е по-удобно и улавя всичко наведнъж.

Понякога проверката не пропуска нищо. Уравнението $\sqrt{x}+5=1$ след изолирането се превръща в $\sqrt{x}=-4$. След повдигането на квадрат излиза x = 16, но проверката дава $\text{Л}=\sqrt{16}+5=9$ и Д = 1, т.е. Л ≠ Д. Уравнението няма решение, което можеше да е ясно още от самото начало, защото коренът никога не е равен на минус четири.

Два корена

Щом в уравнението се срещнат два корена, едно повдигане на степен обикновено не стига. Методът обаче не се променя: изолираме, повдигаме на степен и ако остане корен, повтаряме целия цикъл. Да опитаме това уравнение

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

И двата корена наведнъж не могат да се изолират, така че поне преместваме $\sqrt{x}$ надясно, за да е всеки корен от различна страна. Ако повдигнехме на степен разликата отляво, щяхме да получим произведение $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$ което сериозно би усложнило решението. Затова повдигаме на квадрат така:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Отдясно отново повдигнахме на квадрат двучлен, така че там се появи средният член $2\sqrt{x}$. За щастие иксовете се съкращават и остава единствен корен:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Повдигахме на степен два пъти, така че проверката тук е двойно полезна:

$$\begin{array}{rcl}\text{Л}& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ \text{Д}& =& 1\end{array}$$

Л = Д, вярно е, уравнението има решение x = 4.