Équation du premier degré avec l’inconnue au dénominateur

Une équation du premier degré qui contient des fractions et dont le dénominateur comporte une variable se résout comme une équation du premier degré classique. La première étape consiste à la ramener à la forme réduite, puis à la résoudre de manière classique.

Lorsque le dénominateur ne contient que x

Le cas le plus simple est celui où le dénominateur contient la variable x et rien d’autre. Prenons pour exemple l’équation :

$$\frac{10}{x}=5$$

Il est évident que la solution est x = 2. Mais comment la résoudre formellement, de façon générale ? La variable au dénominateur nous gêne : il faut s’en débarrasser, car on ne peut pas bien la manipuler. La question est donc de savoir comment éliminer x du dénominateur.

Imagine une fraction de la forme

$$\frac{a}{b}$$

Par quelle expression faut-il multiplier une fraction pour s’en débarrasser, c’est-à-dire pour que l’expression ne soit plus un quotient mais un produit ? Par quoi faut-il multiplier un tiers (c’est-à-dire 1/3) pour obtenir un nombre entier ? Il faut le multiplier par le dénominateur de la fraction (ou par un multiple de celui-ci). Si l’on multiplie la fraction par son dénominateur, on obtient la fraction

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

dans laquelle on peut simplifier le dénominateur d’origine b, et n’obtenir ainsi que la valeur a. Revenons à l’exemple du tiers : si l’on multiplie un tiers par trois, qu’obtient-on ? Trois tiers, c’est-à-dire le nombre un. Qu’obtient-on en multipliant un sixième par six ? Six sixièmes, c’est-à-dire un. Qu’obtient-on en multipliant trois septièmes par sept ? On obtient 3 · 7 = 21 septièmes, c’est-à-dire trois.

Il suffit donc de multiplier l’équation par la variable x, qui correspond à la valeur du dénominateur. Peut-on le faire ? Oui. Il est vrai que x pourrait valoir zéro, puisque nous supposons que x appartient à l’ensemble des nombres réels, mais les conditions de l’équation nous disent que x ≠ 0, car x se trouve au dénominateur d’une fraction et l’on ne peut pas diviser par zéro. Il s’agit donc d’une transformation équivalente de l’équation.

Bon, multiplions donc l’équation par l’inconnue x. Qu’obtient-on ?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Que peut-on faire maintenant ? On peut simplifier x dans la fraction. Il ne reste donc de la fraction 10x/x que 10 : 10 = 5x. À ce stade, on peut résoudre l’équation comme une équation du premier degré classique. On obtient x = 2.

Cela a-t-il un sens intuitif ? Oui, bien sûr. Imagine une équation de la forme :

$$\frac{x}{2}=10$$

Que nous dit cette équation du premier degré ? Que la moitié de x vaut dix. Si nous prenons maintenant deux moitiés de x, elles doivent valoir vingt. Or, deux moitiés de x font un x entier.

Expression plus complexe au dénominateur

Le dénominateur peut contenir une expression plus complexe qu’un simple x. Résous l’équation :

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Comment allons-nous résoudre cette équation ? Comment nous débarrasser de la fraction ? Dans la partie précédente, nous avons multiplié l’équation par le dénominateur, ce qui a supprimé la fraction. Ici, nous procéderons exactement de la même façon. Si nous multiplions l’équation par l’expression x + 2, celle-ci se retrouve au numérateur de la fraction, et nous pouvons alors simplifier l’expression x + 2. Allons-y, multiplions :

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{on simplifie }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Nous nous sommes maintenant débarrassés de la fraction, il ne reste plus qu’à développer les parenthèses et terminer le calcul.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Plusieurs fractions

La situation peut se compliquer nettement si l’équation contient plusieurs fractions et plusieurs expressions au dénominateur. Exemple :

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Comment résoudre cette équation ? Elle contient deux fractions dont les dénominateurs sont différents, et la variable x figure dans les deux. La solution consiste à multiplier l’équation par les deux dénominateurs. On peut le faire successivement ou simultanément. Si l’on procède successivement, le calcul se déroule ainsi. Commençons par multiplier par (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

À ce stade, on multiplie encore l’équation par le second dénominateur, (x + 3) :

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Il ne reste plus qu’à développer les parenthèses et terminer le calcul :

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

La seconde méthode consiste à multiplier l’équation par les deux dénominateurs en même temps. C’est-à-dire qu’on la multiplie dès le départ par l’expression (x + 2)(x + 3). On obtient :

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Nous pouvons nous le permettre, car multiplier l’équation d’abord par l’expression a, puis par l’expression b, revient au même que de la multiplier par a · b.