Paydasında Bilinmeyen Olan Birinci Dereceden Denklem

Bazı kesirler içeren ve paydasında bilinmeyen bulunan birinci dereceden denklem, olağan birinci dereceden denklem gibi çözülür. İlk adımda denklemi genel biçime getiririz, sonra onu olağan şekilde çözeriz.

Paydasında Yalnızca x Olan Denklemler

Bu türün en basit hâli, paydanın bilinmeyen x içerdiği ve başka bir şey içermediği durumdur. Örnek denklem:

$$\frac{10}{x}=5$$

Denklemin sonucunun x = 2 olduğu açık. Peki bunu biçimsel olarak, genel bir yolla nasıl çözeriz? Paydadaki bilinmeyen hoşumuza gitmiyor; onunla düzgün işlem yapamadığımız için ondan kurtulmamız gerekir. Soru şu: kesrin paydasındaki x’ten nasıl kurtuluruz?

Şu biçimde bir kesir düşün:

$$\frac{a}{b}$$

Bir kesirden kurtulmak için, yani ifade artık bölüm biçiminde değil çarpım biçiminde olsun diye, kesri hangi ifadeyle çarpmalısın? Üçte bir (1/3) ile neyi çarpmalısın ki bir tam sayı elde edesin? Onu kesrin paydasıyla (ya da paydanın bir katıyla) çarpmalısın. Kesri paydasıyla çarparsan şu kesri elde edersin:

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

Burada ilk paydayı, yani b ifadesini sadeleştirip yalnızca a değerini elde edebilirsin. Üçte bir örneğine dönersek: Üçte bir ile 3’ü çarparsan ne elde edersin? Üçte üç, yani 1. Altıda bir ile 6’yı çarparsan? Altıda altı, yani yine 1. Yedide üç ile 7’yi çarparsan? 3 · 7 = 21 olduğundan yedide yirmi bir elde edersin, bu da 3’tür.

Dolayısıyla denklemin her iki tarafını paydanın değeri olan x ile çarparız. Bunu yapabilir miyiz? Evet, yapabiliriz. x değeri sıfır olabilirdi, çünkü x sayısının gerçek sayılar kümesinden olduğunu varsayıyoruz; ama tanımlı olma koşulu x ≠ 0 olmasını gerektirir, çünkü x kesrin paydasındadır ve sıfıra bölemeyiz. Yani bu bir denk işlemdir.

Peki, denklemi bilinmeyen x ile çarpalım. Ne elde ederiz?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Şimdi ne yapabiliriz? Kesirde x’i sadeleştirebiliriz. 10x/x kesrinden yalnızca 10 kalır: 10 = 5x. Bu noktada artık bunu olağan bir birinci dereceden denklem gibi çözebiliriz. Sonuç x = 2.

Bunun sezgisel bir anlamı var mı? Var tabii. Şu denklemi düşün:

$$\frac{x}{2}=10$$

Bu birinci dereceden denklem bize ne söylüyor? x sayısının yarısı 10’a eşittir. Peki x sayısının iki yarısını alırsak, bunlar 20’ye eşit olmalı. İki yarım x ise bir bütün x’e eşittir.

Paydası Daha Karmaşık Olan Denklemler

Payda yalnızca x ifadesinden daha karmaşık da olabilir. Şu denklemi çöz:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Bu denklemi nasıl çözeceğiz? Kesirden nasıl kurtulacağız? Önceki bölümde denklemi paydayla çarparak kesirden kurtulmuştuk. Burada da tamamen aynı şekilde ilerleyeceğiz. Denklemi x + 2 ifadesiyle çarparsak x + 2 ifadesi kesrin payına geçer ve güzelce sadeleşir. Hadi çarpalım:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{sadeleştirelim }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Artık kesirden kurtulduk; geriye yalnızca parantezleri açıp sonucu hesaplamak kalıyor.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Birden Fazla Kesir

Denklemde birden fazla kesir ve paydalarda birden fazla ifade varsa durum epey karışabilir. Örnek:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Bu denklemi nasıl çözeriz? Paydaları farklı iki kesrimiz var ve ikisinde de bilinmeyen x bulunuyor. Çözüm, denklemi her iki paydayla çarpmaktır. Bunu ya adım adım ya da aynı anda yapabiliriz. Adım adım yaparsak hesap şöyle ilerler. (x + 2) ile çarparak başlayalım.

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Bu noktada denklemi bir de ikinci payda olan (x + 3) ile çarparız:

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Şimdi parantezleri açıp sonucu hesaplamamız yeterli:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

İkinci yol, denklemi iki paydayla aynı anda çarpmaktır. Yani en başta denklemi (x + 2)(x + 3) ifadesiyle çarparız. Şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Bunu yapabiliriz, çünkü denklemi önce a ifadesiyle, sonra b ifadesiyle çarpmak, onu a · b ifadesiyle çarpmakla aynıdır.