Ensimmäisen asteen yhtälö, jonka nimittäjässä on tuntematon

Ensimmäisen asteen yhtälö, jossa on murtolukuja ja jonka nimittäjissä on muuttujia, ratkaistaan samaan tapaan kuin tavallinen ensimmäisen asteen yhtälö. Ensimmäisessä vaiheessa yhtälö muunnetaan yleiseen muotoon, ja sen jälkeen se ratkaistaan tavalliseen tapaan.

Kun nimittäjässä on pelkkä x

Yksinkertaisin tällainen yhtälö on sellainen, jossa nimittäjä sisältää muuttujan x eikä mitään muuta. Esimerkkinä olkoon yhtälö:

$$\frac{10}{x}=5$$

On ilmeistä, että yhtälön tulos on x = 2. Mutta miten sen ratkaisee muodollisesti, yleisesti? Muuttuja nimittäjässä ei miellytä, siitä on päästävä eroon, koska sitä ei voi järkevästi käsitellä. Kysymys kuuluu, miten nimittäjässä olevasta x:stä päästään eroon.

Kuvittele murtoluku muodossa

$$\frac{a}{b}$$

Millä lausekkeella murtoluku pitää kertoa, jotta murtoluvusta päästään eroon? Jotta lauseke ei enää olisi osamäärän vaan tulon muodossa? Millä pitää kertoa yksi kolmasosa (eli 1/3), jotta saadaan jokin kokonaisluku? Se pitää kertoa murtoluvun nimittäjällä (tai sen monikerralla). Kun murtoluku kerrotaan sen nimittäjällä, saadaan murtoluku

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

jossa alkuperäisen nimittäjän b voi jo supistaa, ja jäljelle jää pelkkä arvo a. Palataan kolmasosaesimerkkiin: kun yksi kolmasosa kerrotaan kolmella, mitä saadaan? Saadaan kolme kolmasosaa eli luku yksi. Mitä saadaan, kun yksi kuudesosa kerrotaan kuudella? Kuusi kuudesosaa eli yksi. Mitä saadaan, kun kolme seitsemäsosaa kerrotaan seitsemällä? Saadaan 3 · 7 = 21 eli kaksikymmentäyksi seitsemäsosaa, mikä on kolme.

Kerrotaan siis koko yhtälö muuttujalla x, joka on nimittäjän arvo. Saako sen tehdä? Vastaus on, että saa. Arvo x voisi tosin olla nolla, koska oletetaan, että x kuuluu reaalilukujen joukkoon, mutta yhtälön ehdot kertovat, että x ≠ 0, koska x on murtoluvun nimittäjässä eikä nollalla voi jakaa. Kyseessä on siis yhtälön yhtäpitävä muunnos.

Hyvä, kerrotaan siis yhtälö tuntemattomalla x. Mitä saadaan?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Mitä nyt voidaan tehdä? Murtoluvusta voidaan supistaa x. Murtoluvusta 10x/x jää jäljelle vain 10: 10 = 5x. Ja tässä vaiheessa sen voi jo ratkaista tavallisena ensimmäisen asteen yhtälönä. Tulos on x = 2.

Onko tässä jotakin intuitiivista järkeä? Kyllä on. Kuvittele yhtälö muodossa:

$$\frac{x}{2}=10$$

Mitä tämä ensimmäisen asteen yhtälö kertoo meille? Että puolet x:stä on kymmenen. Mutta jos otetaan kaksi puolikasta x:stä, niiden täytyy olla kaksikymmentä. Kaksi puolikasta x:stä on kuitenkin yksi kokonainen x.

Monimutkaisempi lauseke nimittäjässä

Nimittäjässä voi olla monimutkaisempi lauseke kuin pelkkä x. Ratkaise yhtälö:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Miten tämä yhtälö ratkaistaan? Miten murtoluvusta päästään eroon? Edellisessä osassa yhtälö kerrottiin nimittäjällä, jolloin murtoluvusta päästiin eroon. Tässä tapauksessa edetään täsmälleen samoin. Kun yhtälö kerrotaan lausekkeella x + 2, lauseke x + 2 siirtyy murtoluvun osoittajaan, ja sen voi sitten kauniisti supistaa. Kerrotaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{supistetaan }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Nyt murtoluvusta on päästy eroon, ja jäljellä on enää kertoa sulut auki ja laskea tulos.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Useita murtolukuja

Tilannetta voi merkittävästi vaikeuttaa se, että yhtälössä on useita murtolukuja ja useita lausekkeita nimittäjissä. Esimerkki:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Miten tämä yhtälö ratkaistaan? Siinä on kaksi murtolukua, joilla on eri nimittäjät, ja molemmissa on muuttuja x. Ratkaisu on kertoa yhtälö molemmilla nimittäjillä. Sen voi tehdä joko peräkkäin tai samanaikaisesti. Jos se tehdään peräkkäin, lasku etenee näin. Aloitetaan kertomalla lausekkeella (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Ja tässä vaiheessa yhtälö kerrotaan vielä toisella nimittäjällä, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Nyt kerrotaan vain sulut auki ja lasketaan tulos:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Toinen menettely on kertoa yhtälö molemmilla nimittäjillä samanaikaisesti. Eli alussa yhtälö kerrotaan lausekkeella (x + 2)(x + 3). Saadaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Tämän voi tehdä, koska jos yhtälö kerrotaan lausekkeella a ja sen jälkeen lausekkeella b, se on sama asia kuin kertoa se lausekkeella a · b.