Εξίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο στον παρονομαστή

Μια εξίσωση πρώτου βαθμού που περιέχει κλάσματα και έχει στον παρονομαστή κάποιες μεταβλητές λύνεται παρόμοια με μια κλασική εξίσωση πρώτου βαθμού. Στο πρώτο βήμα φέρνουμε την εξίσωση στη γενική μορφή και μετά τη λύνουμε κανονικά.

Όταν στον παρονομαστή υπάρχει μόνο το x

Ο πιο απλός τύπος τέτοιας εξίσωσης είναι όταν ο παρονομαστής περιέχει τη μεταβλητή x και τίποτε άλλο. Παράδειγμα είναι η εξίσωση:

$$\frac{10}{x}=5$$

Είναι προφανές ότι το αποτέλεσμα της εξίσωσης θα είναι x = 2. Πώς όμως θα το λύσουμε τυπικά, γενικά; Η μεταβλητή στον παρονομαστή δεν μας αρέσει, πρέπει να απαλλαγούμε από αυτήν, γιατί δεν μπορούμε να τη χειριστούμε εύκολα. Το ερώτημα είναι με ποιον τρόπο θα απαλλαγούμε από το x στον παρονομαστή.

Φαντάσου ένα κλάσμα της μορφής

$$\frac{\alpha }{\beta }$$

Με ποια παράσταση πρέπει να πολλαπλασιάσεις ένα κλάσμα για να απαλλαγείς από το κλάσμα; Ώστε η παράσταση να μην είναι πια της μορφής πηλίκου, αλλά της μορφής γινομένου; Με τι πρέπει να πολλαπλασιάσεις το ένα τρίτο (δηλαδή 1/3) για να πάρεις κάποιον ακέραιο αριθμό; Πρέπει να το πολλαπλασιάσεις με τον παρονομαστή του κλάσματος (ή με πολλαπλάσιό του). Αν πολλαπλασιάσεις το κλάσμα με τον παρονομαστή του, παίρνεις το κλάσμα

$$\frac{\alpha \cdot \beta }{\beta }$$

στο οποίο μπορείς πια να απλοποιήσεις τον αρχικό παρονομαστή β και να πάρεις έτσι μόνο την τιμή α. Αν γυρίσουμε στο παράδειγμα με το ένα τρίτο: όταν πολλαπλασιάσεις το ένα τρίτο με το τρία, τι παίρνεις; Παίρνεις τρία τρίτα, δηλαδή τον αριθμό ένα. Τι παίρνεις όταν πολλαπλασιάσεις το ένα έκτο με το έξι; Έξι έκτα, δηλαδή ένα. Τι παίρνεις όταν πολλαπλασιάσεις τα τρία έβδομα με το επτά; Παίρνεις 3 · 7 = 21 είκοσι ένα έβδομα, που κάνουν τρία.

Απλώς λοιπόν πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με τη μεταβλητή x, που είναι η τιμή του παρονομαστή. Μπορούμε να το κάνουμε; Η απάντηση είναι ότι μπορούμε. Η τιμή του x θα μπορούσε βέβαια να είναι μηδέν, γιατί υποθέτουμε ότι το x ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά οι περιορισμοί της εξίσωσης μας λένε ότι x ≠ 0, επειδή το x βρίσκεται στον παρονομαστή κλάσματος και δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Πρόκειται λοιπόν για ισοδύναμη μετατροπή της εξίσωσης.

Λοιπόν, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με τον άγνωστο x. Τι παίρνουμε;

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Τι μπορούμε να κάνουμε τώρα; Στο κλάσμα μπορούμε να απλοποιήσουμε το x. Από το κλάσμα 10x/x μένει μόνο το 10: 10 = 5x. Και τώρα πια μπορούμε να τη λύσουμε ως κλασική εξίσωση πρώτου βαθμού. Το αποτέλεσμα είναι x = 2.

Έχει αυτό κάποιο διαισθητικό νόημα; Ναι, έχει. Φαντάσου την εξίσωση της μορφής:

$$\frac{x}{2}=10$$

Τι μας λέει αυτή η εξίσωση πρώτου βαθμού; Ότι το μισό του x ισούται με δέκα. Αν όμως πάρουμε δύο μισά του x, αυτά πρέπει να ισούνται με είκοσι. Και τα δύο μισά του x ισούνται με ένα ολόκληρο x.

Πιο σύνθετη παράσταση στον παρονομαστή

Στον παρονομαστή μπορεί να υπάρχει πιο σύνθετη παράσταση από το απλό x. Λύσε την εξίσωση:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Με ποιον τρόπο θα λύσουμε αυτή την εξίσωση; Πώς θα απαλλαγούμε από το κλάσμα; Στο προηγούμενο μέρος πολλαπλασιάσαμε την εξίσωση με τον παρονομαστή και έτσι απαλλαγήκαμε από το κλάσμα. Σε αυτή την περίπτωση θα προχωρήσουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με την παράσταση x + 2, τότε η παράσταση x + 2 θα βρεθεί στον αριθμητή του κλάσματος και μπορούμε να την απλοποιήσουμε ωραία. Πολλαπλασιάζουμε:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{ απλοποιούμε }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Τώρα απαλλαγήκαμε από το κλάσμα και μένει μόνο να κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις και να υπολογίσουμε το αποτέλεσμα.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Περισσότερα κλάσματα

Η κατάσταση μπορεί να περιπλακεί αρκετά, αν έχεις στην εξίσωση περισσότερα κλάσματα και περισσότερες παραστάσεις στους παρονομαστές. Παράδειγμα:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Πώς θα λύσουμε αυτή την εξίσωση; Έχουμε εκεί δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, και στους δύο υπάρχει η μεταβλητή x. Η λύση είναι να πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση και με τους δύο παρονομαστές. Μπορούμε να το κάνουμε είτε διαδοχικά είτε ταυτόχρονα. Αν το κάνουμε διαδοχικά, ο υπολογισμός θα πάει ως εξής. Ξεκινάμε πολλαπλασιάζοντας με το (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Και τώρα πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση και με τον δεύτερο παρονομαστή, το (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Τώρα απλώς κάνουμε τις πράξεις στις παρενθέσεις και υπολογίζουμε το αποτέλεσμα:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Ο δεύτερος τρόπος είναι να πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση και με τους δύο παρονομαστές ταυτόχρονα. Δηλαδή στην αρχή πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με την παράσταση (x + 2)(x + 3). Παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Αυτό μπορούμε να το κάνουμε, επειδή αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με την παράσταση α και μετά με την παράσταση β, είναι το ίδιο σαν να την πολλαπλασιάσαμε με την παράσταση α · β.