Lineaire vergelijking met de onbekende in de noemer

Een lineaire vergelijking die breuken bevat met een variabele in de noemer, los je op op dezelfde manier als een gewone lineaire vergelijking. In de eerste stap brengen we de vergelijking in de standaardvorm en daarna lossen we haar gewoon op.

Als in de noemer alleen x staat

Het eenvoudigste type van zo'n vergelijking is die waarbij de noemer de variabele x bevat en verder niets. Een voorbeeld is de vergelijking:

$$\frac{10}{x}=5$$

Het is duidelijk dat de oplossing van de vergelijking x = 2 is. Maar hoe lossen we dat formeel en algemeen op? De variabele in de noemer bevalt ons niet, we moeten er vanaf, want met zo'n variabele kunnen we niet goed rekenen. De vraag is hoe we van x in de noemer afkomen.

Stel je een breuk voor in de vorm

$$\frac{a}{b}$$

Waarmee moet je een breuk vermenigvuldigen om van die breuk af te komen? Zodat de uitdrukking niet meer de vorm van een quotiënt heeft, maar de vorm van een product? Waarmee moet je een derde (dus 1/3) vermenigvuldigen om een geheel getal te krijgen? Je moet hem vermenigvuldigen met de noemer van de breuk (of een veelvoud daarvan). Als je een breuk met zijn noemer vermenigvuldigt, krijg je de breuk

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

waarin je de oorspronkelijke noemer b al kunt wegstrepen en zo alleen de waarde a overhoudt. Als we terugkeren naar het voorbeeld met een derde: wat krijg je als je een derde met drie vermenigvuldigt? Je krijgt drie derde, dus het getal één. Wat krijg je als je een zesde met zes vermenigvuldigt? Zes zesde, dus één. Wat krijg je als je drie zevende met zeven vermenigvuldigt? Je krijgt 3 · 7 = 21 eenentwintig zevende, en dat is drie.

We vermenigvuldigen dus eenvoudig de hele vergelijking met de variabele x, de waarde van de noemer. Mogen we dat doen? Het antwoord is dat dat mag. De waarde van x zou weliswaar nul kunnen zijn, omdat we aannemen dat x uit de verzameling van de reële getallen komt, maar de voorwaarden van de vergelijking zeggen ons dat x ≠ 0, omdat x in de noemer van een breuk staat en we niet door nul mogen delen. Het is dus een equivalente bewerking van vergelijkingen.

Goed, we vermenigvuldigen de vergelijking dus met de onbekende x. Wat krijgen we?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Wat kunnen we nu doen? In de breuk kunnen we x wegstrepen. Van de breuk 10x/x blijft dan alleen 10 over: 10 = 5x. En nu kunnen we dit al oplossen als een gewone lineaire vergelijking. De oplossing is x = 2.

Heeft dat een intuïtieve betekenis? Zeker. Stel je een vergelijking voor in de vorm:

$$\frac{x}{2}=10$$

Wat zegt deze lineaire vergelijking ons? Dat de helft van x gelijk is aan tien. Maar als we twee halven van x nemen, dan moeten die gelijk zijn aan twintig. En twee halven van x zijn gelijk aan één hele x.

Een ingewikkeldere uitdrukking in de noemer

In de noemer kan een ingewikkeldere uitdrukking staan dan alleen x. Los de vergelijking op:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Hoe gaan we deze vergelijking oplossen? Hoe komen we van de breuk af? In het vorige deel vermenigvuldigden we de vergelijking met de noemer, waarmee we van de breuk afkwamen. In dit geval gaan we precies hetzelfde te werk. Als we de vergelijking met de uitdrukking x + 2 vermenigvuldigen, komt de uitdrukking x + 2 in de teller van de breuk te staan en kunnen we die mooi wegstrepen. We gaan vermenigvuldigen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{we strepen }(x+2)\text{ weg}\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Nu zijn we van de breuk af en hoeven we alleen nog de haakjes uit te werken en de oplossing uit te rekenen.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Meer breuken

De situatie kan flink ingewikkelder worden als je in de vergelijking meer breuken en meer uitdrukkingen in de noemer hebt. Een voorbeeld:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Hoe los je deze vergelijking op? We hebben twee breuken met verschillende noemers, in beide staat de variabele x. De oplossing is dat we de vergelijking met beide noemers vermenigvuldigen. Dat kunnen we achtereenvolgens doen of tegelijk. Als we het achtereenvolgens doen, verloopt de berekening zo. We beginnen met vermenigvuldigen met (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

En nu vermenigvuldigen we de vergelijking nog met de tweede noemer, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Nu hoeven we alleen de haakjes uit te werken en de oplossing uit te rekenen:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

De tweede werkwijze is dat we de vergelijking tegelijk met beide noemers vermenigvuldigen. We vermenigvuldigen de vergelijking dus aan het begin met de uitdrukking (x + 2)(x + 3). We krijgen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Dat kunnen we ons permitteren, want als we de vergelijking met een uitdrukking a vermenigvuldigen en daarna met een uitdrukking b, is dat hetzelfde alsof we haar met de uitdrukking a · b hadden vermenigvuldigd.