Lineære likninger med ukjent i nevneren

En lineær likning som inneholder brøker og har en variabel i nevneren, løser vi på samme måte som en vanlig lineær likning. I det første trinnet skriver vi om likningen til grunnformen, og så løser vi den på vanlig måte.

Når det bare står x i nevneren

Den enkleste typen av en slik likning er når nevneren inneholder variabelen x og ingenting annet. Et eksempel er likningen:

$$\frac{10}{x}=5$$

Det er åpenbart at løsningen av likningen blir x = 2. Men hvordan løser vi den formelt og generelt? Vi liker ikke variabelen i nevneren, vi må bli kvitt den, fordi det ikke er noen fornuftig måte å regne med den på. Spørsmålet er hvordan vi blir kvitt x i nevneren.

Tenk deg en brøk på formen

$$\frac{a}{b}$$

Hvilket uttrykk må du gange brøken med for å bli kvitt brøken? Slik at uttrykket ikke lenger er en kvotient, men et produkt? Hva må du gange én tredjedel (altså 1/3) med for å få et helt tall? Du må gange den med nevneren til brøken (eller et multiplum av den). Hvis du ganger brøken med nevneren, får du brøken

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

der du kan forkorte bort den opprinnelige nevneren b, og da står du igjen med bare verdien a. Hvis vi går tilbake til eksempelet med en tredjedel: Hva får du når du ganger én tredjedel med tre? Du får tre tredjedeler, altså tallet én. Hva får du når du ganger en sjettedel med seks? Seks sjettedeler, altså én. Hva får du når du ganger tre sjuendedeler med sju? Du får 3 · 7 = 21 tjueen sjuendedeler, som er tre.

Vi ganger derfor hele likningen med variabelen x, som er verdien av nevneren. Kan vi gjøre det? Svaret er at vi kan. Verdien av x kunne riktignok vært null, siden vi antar at x er fra mengden av reelle tall, men betingelsene for likningen sier at x ≠ 0, fordi x står i nevneren til en brøk og vi kan ikke dele på null. Dette er altså en ekvivalent omforming av likninger.

Greit, vi ganger altså likningen med den ukjente x. Hva får vi?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Hva kan vi gjøre nå? I brøken kan vi forkorte x. Fra brøken 10x/x står det da bare igjen 10: 10 = 5x. Og nå kan vi løse den som en vanlig lineær likning. Løsningen er x = 2.

Gir dette noen intuitiv mening? Jo da. Tenk deg likningen

$$\frac{x}{2}=10$$

Hva forteller denne lineære likningen oss? At halvparten av x er lik ti. Men hvis vi tar to halvdeler av x, må de være lik tjue. Samtidig er to halvdeler av x lik én hel x.

Et mer sammensatt uttrykk i nevneren

I nevneren kan det stå et mer sammensatt uttrykk enn bare x. Løs likningen:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Hvordan løser vi denne likningen? Hvordan blir vi kvitt brøken? I forrige avsnitt ganget vi likningen med nevneren og ble dermed kvitt brøken. I dette tilfellet går vi fram på helt samme måte. Hvis vi ganger likningen med uttrykket x + 2, havner uttrykket x + 2 i telleren til brøken, og så kan vi forkorte det fint bort. La oss gange:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{vi forkorter }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Nå er vi kvitt brøken, og det gjenstår bare å gange ut parentesene og regne ut svaret.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Flere brøker

Situasjonen kan bli betydelig mer komplisert hvis du har flere brøker og flere uttrykk i nevnerne i likningen. Eksempel:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Hvordan løser vi denne likningen? Vi har to brøker med ulike nevnere, og i begge står variabelen x. Løsningen er at vi ganger likningen med begge nevnerne. Vi kan gjøre det enten etter tur eller samtidig. Hvis vi gjør det etter tur, går utregningen slik. Vi begynner med å gange med (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Og nå ganger vi likningen i tillegg med den andre nevneren, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Nå ganger vi bare ut parentesene og regner ut svaret:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Den andre framgangsmåten er å gange likningen med begge nevnerne samtidig. Altså ganger vi likningen i begynnelsen med uttrykket (x + 2)(x + 3). Vi får:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Det kan vi tillate oss å gjøre, for hvis vi ganger likningen med uttrykket a og deretter med uttrykket b, er det det samme som om vi hadde ganget den med uttrykket a · b.