Линейно уравнение с неизвестно в знаменателя

Линейно уравнение, което съдържа някакви дроби и има в знаменателя променливи, се решава подобно на класическото линейно уравнение. В първата стъпка привеждаме уравнението в стандартен вид и после го решаваме по обичайния начин.

Когато в знаменателя има само x

Най-простият вид такова уравнение е, когато знаменателят съдържа променливата x и нищо друго. Пример е уравнението:

$$\frac{10}{x}=5$$

Очевидно е, че решението на уравнението е x = 2. Но по какъв начин да го решим формално, общо? Променливата в знаменателя не ни харесва, трябва да се освободим от нея, защото с нея не може разумно да се работи. Въпросът е по какъв начин да се освободим от x в знаменателя.

Представи си дроб във вида

$$\frac{a}{b}$$

С какъв израз трябва да умножиш дробта, за да се освободиш от нея? Така че изразът вече да не е във вид на частно, а във вид на произведение? С какво трябва да умножиш една трета (т.е. 1/3), за да получиш някакво цяло число? Трябва да я умножиш със знаменателя на дробта (или с негово кратно). Ако умножиш дробта по нейния знаменател, получаваш дробта

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

в която вече можеш да съкратиш първоначалния знаменател b и така получаваш само стойността a. Да се върнем към примера с третината: когато умножиш една трета по три, какво получаваш? Получаваш три трети, т.е. числото едно. Какво получаваш, когато умножиш една шеста по шест? Шест шести, т.е. едно. Какво получаваш, когато умножиш три седми по седем? Получаваш 3 · 7 = 21, т.е. двадесет и една седми, което е три.

Просто умножаваме цялото уравнение по променливата x, която е стойността на знаменателя. Можем ли да го направим? Отговорът е, че можем. Стойността на x би могла да е нула, защото предполагаме, че x е от множеството на реалните числа, но условията на уравнението ни казват, че x ≠ 0, защото x е в знаменателя на дроб и не можем да делим на нула. Така че това е еквивалентно преобразувание на уравнение.

Добре, значи умножаваме уравнението по неизвестното x. Какво получаваме?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Какво можем да направим сега? В дробта можем да съкратим x. От дробта 10x/x остава само 10: 10 = 5x. И в този момент вече можем да го решим като класическо линейно уравнение. Резултатът е x = 2.

Има ли това някакъв интуитивен смисъл? Ами да. Представи си уравнение във вида:

$$\frac{x}{2}=10$$

Какво ни казва това линейно уравнение? Че половината от x е равна на десет. Но ако вземем две половини от x, те трябва да са равни на двайсет. А две половини от x са равни на цялото x.

По-сложен израз в знаменателя

В знаменателя може да има по-сложен израз, не само x. Реши уравнението:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

По какъв начин ще решим това уравнение? Как ще се освободим от дробта? В предишната част умножавахме уравнението по знаменателя, с което се освобождавахме от дробта. В този случай ще постъпим по съвсем същия начин. Ако умножим уравнението по израза x + 2, изразът x + 2 ще се окаже в числителя на дробта и тогава можем лесно да го съкратим. Умножаваме:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{съкращаваме }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Сега се освободихме от дробта и вече остава само да разкрием скобите и да пресметнем резултата.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Повече дроби

Положението може значително да се усложни, ако в уравнението имаш повече дроби и повече изрази в знаменателите. Пример:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

По какъв начин да решим това уравнение? Имаме две дроби с различни знаменатели, и в двете има променливата x. Решението е да умножим уравнението по двата знаменателя. Можем да го направим или последователно, или едновременно. Ако го направим последователно, пресмятането протича така. Започваме с умножение по (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

И в този момент умножаваме уравнението още по другия знаменател, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Сега само разкриваме скобите и пресмятаме резултата:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Вторият начин е да умножим уравнението по двата знаменателя едновременно. Т.е. в началото умножаваме уравнението по израза (x + 2)(x + 3). Получаваме:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Можем да си позволим това, защото ако умножим уравнението по израза a и после го умножим по израза b, това е същото, като да го умножим по израза a · b.