Linjära ekvationer med obekant i nämnaren
En linjär ekvation som innehåller bråk med variabler i nämnaren löser man på ungefär samma sätt som en vanlig linjär ekvation. I första steget formar vi om ekvationen till allmän form, och sedan löser vi den som vanligt.
När det bara står x i nämnaren
Den enklaste typen av sådan ekvation är den där nämnaren innehåller variabeln x och inget annat. Ett exempel är ekvationen:
Det är uppenbart att lösningen är x = 2. Men hur löser vi den formellt och allmänt? Vi tycker inte om variabeln i nämnaren, vi måste bli av med den, eftersom det inte går att räkna med den på ett rimligt sätt. Frågan är hur vi blir av med x i nämnaren.
Tänk dig ett bråk på formen
Med vilket uttryck måste du multiplicera bråket för att bli av med bråket? För att uttrycket inte längre ska vara en kvot utan en produkt? Med vad måste du multiplicera en tredjedel (alltså 1/3) för att få ett heltal? Du måste multiplicera med bråkets nämnare (eller en multipel av den). Om du multiplicerar ett bråk med dess nämnare får du bråket
där du nu kan förkorta bort den ursprungliga nämnaren b och får bara värdet a. Om vi går tillbaka till exemplet med tredjedelen: vad får du om du multiplicerar en tredjedel med tre? Du får tre tredjedelar, alltså talet ett. Vad får du om du multiplicerar en sjättedel med sex? Sex sjättedelar, alltså ett. Vad får du om du multiplicerar tre sjundedelar med sju? Du får 3 · 7 = 21, tjugoen sjundedelar, vilket är tre.
Vi multiplicerar alltså hela ekvationen med variabeln x, som är nämnarens värde. Får vi göra det? Svaret är att vi får det. Värdet på x skulle visserligen kunna vara noll, eftersom vi antar att x ligger i mängden av reella tal, men villkoren för ekvationen säger att x ≠ 0, eftersom x står i nämnaren i ett bråk och vi inte kan dividera med noll. Det är alltså en ekvivalent omformning av ekvationen.
Bra, vi multiplicerar alltså ekvationen med den obekanta x. Vad får vi?
Vad kan vi göra nu? I bråket kan vi förkorta bort x. Av bråket 10x/x blir det bara 10 kvar: 10 = 5x. Och nu kan vi lösa den som en vanlig linjär ekvation. Lösningen är x = 2.
Finns det någon intuitiv mening i det här? Visst. Tänk dig ekvationen
Vad säger den här linjära ekvationen oss? Att hälften av x är lika med tio. Men tar vi två halvor av x måste de vara lika med tjugo. Samtidigt är två halvor av x lika med hela x.
Ett mer komplicerat uttryck i nämnaren
I nämnaren kan det stå ett mer komplicerat uttryck än bara x. Lös ekvationen:
Hur ska vi lösa den här ekvationen? Hur blir vi av med bråket? I förra avsnittet multiplicerade vi ekvationen med nämnaren och blev därigenom av med bråket. Här gör vi precis likadant. Om vi multiplicerar ekvationen med uttrycket x + 2 hamnar uttrycket x + 2 i bråkets täljare och vi kan fint förkorta bort det. Vi multiplicerar:
Nu har vi blivit av med bråket och det återstår bara att multiplicera ut parenteserna och räkna ut lösningen.
Flera bråk
Situationen kan bli betydligt krångligare om du har flera bråk och flera uttryck i nämnarna i ekvationen. Exempel:
Hur löser vi den här ekvationen? Vi har två bråk med olika nämnare, och i båda står variabeln x. Lösningen är att multiplicera ekvationen med båda nämnarna. Det kan vi göra antingen i tur och ordning eller på en gång. Gör vi det i tur och ordning går räkningen till så här. Vi börjar med att multiplicera med (x + 2).
Och nu multiplicerar vi ekvationen också med den andra nämnaren, (x + 3):
Nu multiplicerar vi bara ut parenteserna och räknar ut lösningen:
Det andra sättet är att multiplicera ekvationen med båda nämnarna samtidigt. Det vill säga att vi i början multiplicerar ekvationen med uttrycket (x + 2)(x + 3). Vi får:
Det kan vi tillåta oss, eftersom det är samma sak att multiplicera ekvationen med uttrycket a och sedan med uttrycket b som att multiplicera den med uttrycket a · b.
Kapitel: Linjära ekvationer, Linjära ekvationer med obekant i nämnaren, Linjära ekvationer med absolutbelopp, Linjär ekvation med parameter
