Lineær ligning med den ubekendte i nævneren
En lineær ligning, som indeholder brøker og har variabler i nævneren, løses på lignende måde som en almindelig lineær ligning. I første trin bringer vi ligningen på standardform, og derefter løser vi den på sædvanlig vis.
Når der kun står x i nævneren
Den enkleste type af denne slags ligninger er, når nævneren indeholder variablen x og intet andet. Et eksempel er ligningen:
Det er åbenlyst, at ligningens resultat bliver x = 2. Men hvordan løser vi det formelt og generelt? Vi bryder os ikke om variablen i nævneren, vi skal af med den, for den kan vi ikke manipulere fornuftigt med. Spørgsmålet er, hvordan vi slipper af med x i nævneren.
Forestil dig brøken på formen
Hvilket udtryk skal du gange brøken med for at slippe af med brøken? Så udtrykket ikke længere er en kvotient, men et produkt? Hvad skal du gange en tredjedel (altså 1/3) med for at få et helt tal? Du skal gange den med brøkens nævner (eller et multiplum af den). Hvis du ganger brøken med dens nævner, får du brøken
hvor du allerede kan forkorte den oprindelige nævner b og dermed kun få værdien a. Når vi vender tilbage til eksemplet med tredjedelen: hvis du ganger en tredjedel med tre, hvad får du så? Du får tre tredjedele, altså tallet en. Hvad får du, hvis du ganger en sjettedel med seks? Seks sjettedele, altså en. Hvad får du, hvis du ganger tre syvendedele med syv? Du får 3 · 7 = 21 enogtyve syvendedele, hvilket er tre.
Vi ganger altså simpelthen hele ligningen med variablen x, som er nævnerens værdi. Må vi det? Svaret er, at det må vi. Variablen x kunne godt antage værdien nul, fordi vi antager, at x er et reelt tal, men ligningens betingelser fortæller os, at x ≠ 0, fordi x står i en brøks nævner, og vi kan ikke dividere med nul. Der er derfor tale om en ækvivalent omformning af ligninger.
Godt, vi ganger altså ligningen med den ubekendte x. Hvad får vi?
Hvad kan vi gøre nu? I brøken kan vi forkorte x. Af brøken 10x/x bliver der kun 10 tilbage: 10 = 5x. Og nu kan vi allerede løse det som en almindelig lineær ligning. Resultatet er x = 2.
Giver det nogen intuitiv mening? Ja, det gør det. Forestil dig ligningen på formen:
Hvad fortæller denne lineære ligning os? At en halv x er lig med ti. Men hvis vi tager to halve x, må de være lig med tyve. Og to halve x er lig med ét helt x.
Et mere sammensat udtryk i nævneren
I nævneren kan der stå et mere sammensat udtryk end bare x. Løs ligningen:
Hvordan skal vi løse denne ligning? Hvordan slipper vi af med brøken? I det foregående afsnit gangede vi ligningen med nævneren, hvorved vi slap af med brøken. I dette tilfælde går vi helt på samme måde frem. Hvis vi ganger ligningen med udtrykket x + 2, havner udtrykket x + 2 i brøkens tæller, og så kan vi pænt forkorte det. Vi ganger:
Nu er vi sluppet af med brøken, og nu mangler vi bare at gange parenteserne ud og beregne resultatet.
Flere brøker
Situationen kan blive betydeligt mere kompliceret, hvis du har flere brøker og flere udtryk i nævnerne i ligningen. Et eksempel:
Hvordan løser vi denne ligning? Vi har to brøker med forskellige nævnere, og i begge er der variablen x. Løsningen er, at vi ganger ligningen med begge nævnere. Det kan vi gøre enten trin for trin eller på samme tid. Hvis vi gør det trin for trin, forløber beregningen sådan her. Vi begynder med at gange med (x + 2).
Og nu ganger vi ligningen desuden med den anden nævner, (x + 3):
Nu skal vi bare gange parenteserne ud og beregne resultatet:
Den anden fremgangsmåde er at gange ligningen med begge nævnere samtidig. Altså ganger vi i begyndelsen ligningen med udtrykket (x + 2)(x + 3). Vi får:
Det kan vi tillade os, for hvis vi ganger ligningen med udtrykket a og derefter ganger den med udtrykket b, er det det samme, som hvis vi havde ganget den med udtrykket a · b.
Kapitler: Lineær ligning, Lineær ligning med den ubekendte i nævneren, Lineær ligning med numerisk værdi, Lineær ligning med parameter
