Lineare Gleichungen mit der Unbekannten im Nenner

Eine lineare Gleichung, die Brüche enthält und im Nenner Variablen hat, wird ähnlich gelöst wie eine klassische lineare Gleichung. Im ersten Schritt bringen wir die Gleichung auf die allgemeine Form und lösen sie dann ganz klassisch.

Wenn im Nenner nur x steht

Der einfachste Typ einer solchen Gleichung liegt vor, wenn der Nenner die Variable x und sonst nichts enthält. Ein Beispiel ist die Gleichung:

$$\frac{10}{x}=5$$

Es ist offensichtlich, dass die Lösung der Gleichung x = 2 ist. Wie lösen wir sie aber formal, allgemein? Die Variable im Nenner gefällt uns nicht, wir müssen sie loswerden, denn mit ihr lässt sich nicht vernünftig umgehen. Die Frage lautet, wie wir das x im Nenner loswerden.

Stell dir einen Bruch der Form

$$\frac{a}{b}$$

vor. Womit musst du den Bruch multiplizieren, um den Bruch loszuwerden? Damit der Term nicht mehr die Form eines Quotienten hat, sondern die eines Produkts? Womit musst du ein Drittel (also 1/3) multiplizieren, um eine ganze Zahl zu erhalten? Du musst es mit dem Nenner des Bruchs (oder einem Vielfachen davon) multiplizieren. Wenn du den Bruch mit seinem Nenner multiplizierst, erhältst du den Bruch

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

in dem du den ursprünglichen Nenner b kürzen kannst und so nur den Wert a erhältst. Kehren wir zum Beispiel mit dem Drittel zurück: Wenn du ein Drittel mit drei multiplizierst, was erhältst du? Du erhältst drei Drittel, also die Zahl eins. Was erhältst du, wenn du ein Sechstel mit sechs multiplizierst? Sechs Sechstel, also eins. Was erhältst du, wenn du drei Siebtel mit sieben multiplizierst? Du erhältst 3 · 7 = 21, einundzwanzig Siebtel, und das sind drei.

Wir multiplizieren also die ganze Gleichung einfach mit der Variablen x, die ja der Nenner ist. Dürfen wir das? Die Antwort lautet: Ja. Der Wert x könnte zwar null annehmen, da wir voraussetzen, dass x aus der Menge der reellen Zahlen stammt, aber die Definitionsmenge der Gleichung sagt uns, dass x ≠ 0, denn x steht im Nenner des Bruchs und wir dürfen nicht durch null dividieren. Es handelt sich also um eine Äquivalenzumformung.

Gut, wir multiplizieren also die Gleichung mit der Unbekannten x. Was erhalten wir?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Was können wir jetzt tun? Im Bruch können wir x kürzen. Vom Bruch 10x/x bleibt also nur 10 übrig: 10 = 5x. Und jetzt lässt sich das als klassische lineare Gleichung lösen. Das Ergebnis ist x = 2.

Hat das einen anschaulichen Sinn? Aber ja. Stell dir eine Gleichung der Form

$$\frac{x}{2}=10$$

vor. Was sagt uns diese lineare Gleichung? Dass die Hälfte von x gleich zehn ist. Nehmen wir aber zwei Halbe von x, müssen diese gleich zwanzig sein. Zwei Halbe von x sind aber gleich einem ganzen x.

Komplizierterer Term im Nenner

Im Nenner kann ein komplizierterer Term als nur x stehen. Löse die Gleichung:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Wie lösen wir diese Gleichung? Wie werden wir den Bruch los? Im vorigen Abschnitt haben wir die Gleichung mit dem Nenner multipliziert und so den Bruch beseitigt. In diesem Fall gehen wir ganz genauso vor. Multiplizieren wir die Gleichung mit dem Term x + 2, steht der Term x + 2 im Zähler des Bruchs und wir können ihn schön kürzen. Multiplizieren wir:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{wir kürzen }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Jetzt sind wir den Bruch los und es bleibt nur noch, die Klammern auszumultiplizieren und das Ergebnis auszurechnen.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Mehrere Brüche

Deutlich komplizierter wird es, wenn du in der Gleichung mehrere Brüche und mehrere Terme im Nenner hast. Beispiel:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Wie löst man diese Gleichung? Wir haben hier zwei Brüche mit verschiedenen Nennern, in beiden steht die Variable x. Die Lösung ist, die Gleichung mit beiden Nennern zu multiplizieren. Das können wir entweder nacheinander oder gleichzeitig tun. Gehen wir nacheinander vor, läuft die Rechnung so ab. Wir beginnen mit der Multiplikation mit (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Und jetzt multiplizieren wir die Gleichung noch mit dem zweiten Nenner, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Nun multiplizieren wir nur noch die Klammern aus und berechnen das Ergebnis:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Das zweite Vorgehen ist, die Gleichung mit beiden Nennern gleichzeitig zu multiplizieren. D. h. am Anfang multiplizieren wir die Gleichung mit dem Term (x + 2)(x + 3). Wir erhalten:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Das dürfen wir tun, denn wenn wir die Gleichung mit dem Term a und danach mit dem Term b multiplizieren, ist es dasselbe, als hätten wir sie mit dem Term a · b multipliziert.