Ecuación de primer grado con la incógnita en el denominador

Una ecuación de primer grado que contiene fracciones con variables en el denominador se resuelve de forma parecida a una ecuación de primer grado normal. En el primer paso llevamos la ecuación a la forma general y a partir de ahí la resolvemos como siempre.

Cuando en el denominador solo está x

El tipo más sencillo de ecuación así es aquel en el que el denominador contiene la variable x y nada más. Un ejemplo es la ecuación:

$$\frac{10}{x}=5$$

Es evidente que el resultado de la ecuación será x = 2. Pero ¿cómo lo resolvemos de manera formal, en general? La variable en el denominador no nos gusta, necesitamos eliminarla, porque con ella no se puede operar con comodidad. La pregunta es cómo quitamos la x del denominador.

Imagina una fracción de la forma

$$\frac{a}{b}$$

¿Por qué expresión tienes que multiplicar una fracción para librarte de ella? ¿Para que la expresión ya no tenga forma de cociente, sino de producto? ¿Por qué tienes que multiplicar un tercio (es decir, 1/3) para obtener un número entero? Tienes que multiplicarlo por el denominador de la fracción (o por un múltiplo suyo). Si multiplicas la fracción por su denominador, obtienes la fracción

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

en la que ya puedes simplificar el denominador original b y te queda solo el valor a. Si volvemos al ejemplo del tercio: si multiplicas un tercio por tres, ¿qué obtienes? Tres tercios, es decir, el número uno. ¿Qué obtienes si multiplicas un sexto por seis? Seis sextos, es decir, uno. ¿Qué obtienes si multiplicas tres séptimos por siete? Obtienes 3 · 7 = 21, veintiún séptimos, que son tres.

Sencillamente multiplicamos toda la ecuación por la variable x, que es el valor del denominador. ¿Podemos hacerlo? La respuesta es que sí. Es cierto que el valor de x podría ser cero, porque suponemos que x pertenece al conjunto de los números reales, pero las condiciones de existencia de la ecuación nos dicen que x ≠ 0, porque x está en el denominador de una fracción y no podemos dividir entre cero. Se trata, pues, de una transformación equivalente de ecuaciones.

Bien, multipliquemos entonces la ecuación por la incógnita x. ¿Qué obtenemos?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

¿Qué podemos hacer ahora? En la fracción podemos simplificar x. De la fracción 10x/x queda solo 10: 10 = 5x. Y en este momento ya podemos resolverlo como una ecuación de primer grado normal. El resultado es x = 2.

¿Tiene esto algún sentido intuitivo? Pues sí. Imagina una ecuación de la forma:

$$\frac{x}{2}=10$$

¿Qué nos dice esta ecuación de primer grado? Que la mitad de x es igual a diez. Pero si tomamos dos mitades de x, estas tienen que ser iguales a veinte. Y dos mitades de x son iguales a una x entera.

Una expresión más complicada en el denominador

En el denominador puede haber una expresión más complicada que solo x. Resuelve la ecuación:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

¿Cómo resolvemos esta ecuación? ¿Cómo nos libramos de la fracción? En la parte anterior multiplicábamos la ecuación por el denominador, con lo que nos librábamos de la fracción. En este caso procederemos exactamente igual. Si multiplicamos la ecuación por la expresión x + 2, la expresión x + 2 aparece en el numerador de la fracción y entonces podemos simplificarla estupendamente. Vamos a multiplicar:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{simplificamos }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Ahora nos hemos librado de la fracción y ya solo queda quitar el paréntesis y calcular el resultado.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Varias fracciones

La situación puede complicarse bastante si en la ecuación hay varias fracciones y varias expresiones en los denominadores. Ejemplo:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

¿Cómo resolver esta ecuación? Tenemos dos fracciones con denominadores distintos, y en ambos aparece la variable x. La solución es multiplicar la ecuación por ambos denominadores. Podemos hacerlo bien uno tras otro, bien a la vez. Si lo hacemos uno tras otro, el cálculo transcurrirá así. Empezamos multiplicando por (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Y en este momento multiplicamos además la ecuación por el otro denominador, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Ahora solo quitamos los paréntesis y calculamos el resultado:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

El segundo procedimiento es multiplicar la ecuación por ambos denominadores a la vez. Es decir, al principio multiplicamos la ecuación por la expresión (x + 2)(x + 3). Obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Podemos permitírnoslo, porque si multiplicamos la ecuación por la expresión a y después por la expresión b, es lo mismo que si la multiplicáramos por la expresión a · b.