Ecuații de gradul întâi cu necunoscuta la numitor

O ecuație de gradul întâi care conține fracții și are la numitor variabile se rezolvă asemănător cu o ecuație de gradul întâi obișnuită. În primul pas aducem ecuația la forma generală și apoi o rezolvăm clasic.

Când la numitor este doar x

Cel mai simplu tip de astfel de ecuație este cel în care numitorul conține variabila x și nimic altceva. Un exemplu ar fi ecuația:

$$\frac{10}{x}=5$$

Este evident că soluția ecuației va fi x = 2. Dar cum o rezolvăm formal, în general? Variabila de la numitor nu ne place, trebuie să scăpăm de ea, pentru că nu se poate lucra rezonabil cu ea. Întrebarea este cum scăpăm de x de la numitor.

Imaginează-ți o fracție de forma

$$\frac{a}{b}$$

Cu ce expresie trebuie să înmulțești fracția ca să scapi de ea? Ca expresia să nu mai fie sub forma unui cât, ci sub forma unui produs? Cu ce trebuie să înmulțești o treime (adică 1/3) ca să obții un număr întreg? Trebuie să o înmulțești cu numitorul fracției (sau cu un multiplu al lui). Dacă înmulțești fracția cu numitorul ei, obții fracția

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

în care poți simplifica numitorul inițial b și obții astfel doar valoarea a. Să revenim la exemplul cu treimea: dacă înmulțești o treime cu trei, ce obții? Obții trei treimi, adică numărul unu. Ce obții dacă înmulțești o șesime cu șase? Șase șesimi, adică unu. Ce obții dacă înmulțești trei șaptimi cu șapte? Obții 3 · 7 = 21, adică douăzeci și una de șaptimi, ceea ce înseamnă trei.

Deci înmulțim pur și simplu întreaga ecuație cu variabila x, care este valoarea numitorului. Avem voie? Răspunsul este că da. Valoarea x ar putea fi zero, pentru că presupunem că x aparține mulțimii numerelor reale, dar condițiile de existență ale ecuației ne spun că x ≠ 0, pentru că x se află la numitorul unei fracții și nu putem împărți la zero. Este deci o transformare echivalentă a ecuației.

Bine, înmulțim deci ecuația cu necunoscuta x. Ce obținem?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Ce putem face acum? În fracție putem simplifica prin x. Din fracția 10x/x rămâne doar 10: 10 = 5x. Iar în acest moment o putem rezolva deja ca pe o ecuație de gradul întâi clasică. Soluția este x = 2.

Are acest lucru vreun sens intuitiv? Sigur că da. Imaginează-ți o ecuație de forma:

$$\frac{x}{2}=10$$

Ce ne spune această ecuație de gradul întâi? Că jumătate din x este egală cu zece. Dar dacă luăm două jumătăți din x, acestea trebuie să fie egale cu douăzeci. Iar două jumătăți din x sunt egale cu un x întreg.

O expresie mai complicată la numitor

La numitor poate fi o expresie mai complicată decât doar x. Rezolvă ecuația:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Cum vom rezolva această ecuație? Cum scăpăm de fracție? În partea precedentă am înmulțit ecuația cu numitorul, scăpând astfel de fracție. În acest caz vom proceda exact la fel. Dacă înmulțim ecuația cu expresia x + 2, expresia x + 2 ajunge la numărătorul fracției și o putem apoi simplifica frumos. Să înmulțim:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{simplificăm }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Acum am scăpat de fracție și ne rămâne doar să desfacem parantezele și să calculăm rezultatul.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Mai multe fracții

Situația se poate complica considerabil dacă ai în ecuație mai multe fracții și mai multe expresii la numitor. Exemplu:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Cum rezolvăm această ecuație? Avem două fracții cu numitori diferiți, în ambele apare variabila x. Soluția este să înmulțim ecuația cu ambii numitori. Putem face asta fie pe rând, fie simultan. Dacă o facem pe rând, calculul decurge astfel. Începem cu înmulțirea cu (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Iar în acest moment mai înmulțim ecuația cu al doilea numitor, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Acum desfacem doar parantezele și calculăm rezultatul:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

A doua cale este să înmulțim ecuația cu ambii numitori simultan. Adică la început înmulțim ecuația cu expresia (x + 2)(x + 3). Obținem:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Ne putem permite asta, pentru că, dacă înmulțim ecuația cu expresia a și apoi o înmulțim cu expresia b, este același lucru ca și cum am fi înmulțit-o cu expresia a · b.