Equação do 1º grau com a incógnita no denominador

Uma equação do 1º grau que contém frações e tem variáveis nos denominadores se resolve de modo parecido com uma equação do 1º grau comum. No primeiro passo levamos a equação à forma geral e depois a resolvemos da maneira habitual.

Quando no denominador há apenas x

O tipo mais simples dessa equação é aquele em que o denominador contém a variável x e mais nada. Um exemplo é a equação:

$$\frac{10}{x}=5$$

É evidente que o resultado da equação será x = 2. Mas como resolvemos isso formalmente, de modo geral? Não gostamos da variável no denominador, precisamos nos livrar dela, porque com ela não dá para trabalhar de maneira razoável. A pergunta é: como nos livramos do x no denominador?

Imagine uma fração na forma

$$\frac{a}{b}$$

Por qual expressão você precisa multiplicar uma fração para se livrar dela? Para que a expressão deixe de ter a forma de um quociente e passe a ter a forma de um produto? Pelo que você precisa multiplicar um terço (isto é, 1/3) para obter um número inteiro? Você precisa multiplicá-lo pelo denominador da fração (ou por um múltiplo dele). Se você multiplicar a fração pelo seu denominador, obtém a fração

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

na qual já pode simplificar o denominador original b e obter apenas o valor a. Voltando ao exemplo do terço: multiplicando um terço por três, o que você obtém? Obtém três terços, isto é, o número um. O que você obtém multiplicando um sexto por seis? Seis sextos, isto é, um. O que você obtém multiplicando três sétimos por sete? Obtém 3 · 7 = 21, vinte e um sétimos, que são três.

Simplesmente multiplicamos a equação pela variável x, que é o valor do denominador. Podemos fazer isso? A resposta é que podemos. O valor de x poderia até ser zero, porque supomos que x pertence ao conjunto dos números reais, mas as condições de existência da equação nos dizem que x ≠ 0, porque x está no denominador de uma fração e não podemos dividir por zero. Trata-se, portanto, de uma transformação equivalente de equações.

Muito bem, então multiplicamos a equação pela incógnita x. O que obtemos?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

O que podemos fazer agora? Na fração podemos simplificar o x. Da fração 10x/x sobra apenas 10: 10 = 5x. E nesse momento já podemos resolver como uma equação do 1º grau comum. O resultado é x = 2.

Isso faz algum sentido intuitivo? Faz, sim. Imagine uma equação na forma:

$$\frac{x}{2}=10$$

O que essa equação do 1º grau nos diz? Que metade de x é igual a dez. Mas, se tomarmos duas metades de x, elas devem ser iguais a vinte. E duas metades de x são iguais a um x inteiro.

Expressão mais complicada no denominador

No denominador pode haver uma expressão mais complicada que apenas x. Resolva a equação:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Como vamos resolver essa equação? Como nos livramos da fração? Na parte anterior multiplicamos a equação pelo denominador e, com isso, nos livramos da fração. Neste caso procedemos exatamente da mesma forma. Se multiplicarmos a equação pela expressão x + 2, a expressão x + 2 vai parar no numerador da fração e então podemos simplificá-la facilmente. Vamos multiplicar:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{simplificamos }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Agora já nos livramos da fração e só resta eliminar os parênteses e calcular o resultado.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Várias frações

A situação pode se complicar bastante se você tem na equação várias frações e várias expressões nos denominadores. Exemplo:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Como resolver essa equação? Temos aí duas frações com denominadores diferentes, e nas duas aparece a variável x. A solução é multiplicar a equação pelos dois denominadores. Podemos fazer isso um de cada vez ou ao mesmo tempo. Se fizermos um de cada vez, o cálculo será assim. Começamos multiplicando por (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

E nesse momento ainda multiplicamos a equação pelo outro denominador, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Agora só eliminamos os parênteses e calculamos o resultado:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

O segundo procedimento é multiplicar a equação pelos dois denominadores ao mesmo tempo. Ou seja, no início multiplicamos a equação pela expressão (x + 2)(x + 3). Obtemos:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Podemos nos permitir isso porque, se multiplicamos a equação pela expressão a e depois pela expressão b, é o mesmo que multiplicá-la pela expressão a · b.