Elsőfokú egyenlet ismeretlennel a nevezőben

Azt az elsőfokú egyenletet, amelyben vannak törtek, és a nevezőben valamilyen ismeretlen áll, hasonlóan oldjuk meg, mint a hagyományos elsőfokú egyenletet. Első lépésben alapalakra hozzuk az egyenletet, utána pedig már a megszokott módon oldjuk meg.

Amikor a nevezőben csak x áll

Az ilyen egyenletek legegyszerűbb típusa az, amikor a nevező az x ismeretlent tartalmazza, és semmi mást. Példa erre az egyenlet:

$$\frac{10}{x}=5$$

Nyilvánvaló, hogy az egyenlet megoldása x = 2. De hogyan oldjuk meg ezt formálisan, általánosan? A nevezőben álló ismeretlen nem tetszik nekünk, meg kell szabadulnunk tőle, mert nem lehet vele értelmesen számolni. A kérdés az, hogyan szabadulunk meg a nevezőben álló x-től.

Képzelj el egy

$$\frac{a}{b}$$

alakú törtet. Mivel kell megszoroznod a törtet, hogy megszabadulj tőle? Hogy a kifejezés már ne hányados, hanem szorzat alakú legyen? Mivel kell megszoroznod az egyharmadot (vagyis az 1/3-ot), hogy egész számot kapj? Meg kell szoroznod a tört nevezőjével (vagy annak többszörösével). Ha a törtet megszorzod a nevezőjével, ezt a törtet kapod:

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

amelyben már egyszerűsítheted az eredeti b nevezőt, és így csak az a érték marad. Ha visszatérünk az egyharmados példához: ha az egyharmadot megszorzod hárommal, mit kapsz? Három harmadot, vagyis az egyet. Mit kapsz, ha az egyhatodot megszorzod hattal? Hat hatodot, vagyis egyet. Mit kapsz, ha a háromhetedet megszorzod héttel? Megkapod a 3 · 7 = 21 huszonegy hetedet, ami három.

Az egész egyenletet tehát megszorozzuk az x ismeretlennel, ami a nevező értéke. Megtehetjük ezt? A válasz az, hogy igen. Az x értéke ugyan lehetne nulla, hiszen feltételezzük, hogy x a valós számok halmazából való, de az egyenlet kikötése szerint x ≠ 0, mert x a tört nevezőjében áll, és nullával nem oszthatunk. Ez tehát ekvivalens átalakítás.

Rendben, szorozzuk meg tehát az egyenletet az x ismeretlennel. Mit kapunk?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Mit tehetünk most? A törtben egyszerűsíthetjük az x-et. A 10x/x törtből csak a 10 marad: 10 = 5x. Ezt pedig már megoldhatjuk hagyományos elsőfokú egyenletként. Az eredmény x = 2.

Van ennek intuitív értelme? Hogyne. Képzelj el egy

$$\frac{x}{2}=10$$

alakú egyenletet. Mit mond ez az elsőfokú egyenlet? Azt, hogy az x fele egyenlő tízzel. Ha viszont vesszük az x két felét, azoknak húszzal kell egyenlőnek lenniük. Az x két fele pedig egy egész x-et ad.

Bonyolultabb kifejezés a nevezőben

A nevezőben állhat bonyolultabb kifejezés is, nem csak az x. Oldd meg az egyenletet:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Hogyan oldjuk meg ezt az egyenletet? Hogyan szabadulunk meg a törttől? Az előző részben az egyenletet a nevezővel szoroztuk, és így megszabadultunk a törttől. Itt pontosan ugyanígy járunk el. Ha az egyenletet megszorozzuk az x + 2 kifejezéssel, az x + 2 a tört számlálójába kerül, és szépen egyszerűsíthetünk. Szorozzunk:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{egyszerűsítünk az }(x+2)\text{ kifejezéssel}\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Most már megszabadultunk a törttől, és már csak fel kell bontanunk a zárójeleket, és ki kell számolnunk az eredményt.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Több tört

A helyzetet jelentősen bonyolíthatja, ha az egyenletben több tört és a nevezőkben több kifejezés van. Példa:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Hogyan oldjuk meg ezt az egyenletet? Két tört van benne különböző nevezővel, mindkettőben szerepel az x ismeretlen. A megoldás az, hogy az egyenletet megszorozzuk mindkét nevezővel. Megtehetjük ezt egymás után vagy egyszerre. Ha egymás után tesszük, a számítás így fog menni. Kezdjük az (x + 2) kifejezéssel való szorzással.

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Ebben a pillanatban az egyenletet még megszorozzuk a másik nevezővel, az (x + 3) kifejezéssel:

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Most már csak felbontjuk a zárójeleket, és kiszámoljuk az eredményt:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

A második eljárás az, hogy az egyenletet mindkét nevezővel egyszerre szorozzuk meg. Vagyis az elején az egyenletet megszorozzuk az (x + 2)(x + 3) kifejezéssel. Ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Ezt megtehetjük, mert ha az egyenletet megszorozzuk az a kifejezéssel, majd megszorozzuk a b kifejezéssel, az ugyanaz, mintha megszoroztuk volna az a · b kifejezéssel.