Equazione di primo grado con l’incognita al denominatore

Un’equazione di primo grado che contiene delle frazioni con una variabile al denominatore si risolve in modo simile a una normale equazione di primo grado. Come primo passo la riduciamo alla forma normale, poi la risolviamo nel modo consueto.

Quando al denominatore c’è solo x

Il tipo più semplice di equazione di questo genere è quello in cui il denominatore contiene la variabile x e nient’altro. Un esempio è l’equazione:

$$\frac{10}{x}=5$$

È evidente che la soluzione dell’equazione è x = 2. Ma come la ricaviamo in modo formale, in generale? La variabile al denominatore non ci piace, dobbiamo eliminarla, perché con essa non si può lavorare in modo ragionevole. La domanda è: come ci liberiamo di x al denominatore?

Immagina una frazione della forma

$$\frac{a}{b}$$

Per quale espressione devi moltiplicare la frazione per liberarti della frazione? Perché l’espressione non abbia più la forma di un quoziente, ma di un prodotto? Per quale numero devi moltiplicare un terzo (cioè 1/3) per ottenere un numero intero? Devi moltiplicarlo per il denominatore della frazione (o per un suo multiplo). Se moltiplichi la frazione per il suo denominatore, ottieni la frazione

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

in cui puoi già semplificare il denominatore originario b e ottieni così soltanto il valore a. Torniamo all’esempio del terzo: se moltiplichi un terzo per tre, che cosa ottieni? Ottieni tre terzi, cioè il numero uno. Che cosa ottieni moltiplicando un sesto per sei? Sei sesti, cioè uno. Che cosa ottieni moltiplicando tre settimi per sette? Ottieni 3 · 7 = 21, ventuno settimi, che fanno tre.

Moltiplichiamo quindi semplicemente tutta l’equazione per la variabile x, che è il valore del denominatore. Possiamo farlo? La risposta è sì. Il valore di x potrebbe sì essere zero, dato che supponiamo che x appartenga all’insieme dei numeri reali, ma le condizioni di esistenza ci dicono che x ≠ 0, perché x sta al denominatore di una frazione e non possiamo dividere per zero. Si tratta quindi di una trasformazione lecita secondo i principi di equivalenza.

Bene, moltiplichiamo dunque l’equazione per l’incognita x. Che cosa otteniamo?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Che cosa possiamo fare adesso? Nella frazione possiamo semplificare x. Della frazione 10x/x resta quindi soltanto 10: 10 = 5x. A questo punto possiamo risolvere l’equazione come una normale equazione di primo grado. Il risultato è x = 2.

Ha un senso intuitivo? Certo. Immagina un’equazione della forma:

$$\frac{x}{2}=10$$

Che cosa ci dice questa equazione di primo grado? Che la metà di x è uguale a dieci. Ma se prendiamo due metà di x, queste devono essere uguali a venti. E due metà di x sono uguali a un x intero.

Un’espressione più complicata al denominatore

Al denominatore può esserci un’espressione più complicata del semplice x. Risolvi l’equazione:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Come risolviamo questa equazione? Come ci liberiamo della frazione? Nella parte precedente abbiamo moltiplicato l’equazione per il denominatore, eliminando così la frazione. In questo caso procederemo esattamente allo stesso modo. Se moltiplichiamo l’equazione per l’espressione x + 2, l’espressione x + 2 finisce al numeratore della frazione e si può semplificare comodamente. Moltiplichiamo:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{semplifichiamo }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Ora ci siamo liberati della frazione e non resta che eliminare le parentesi e calcolare il risultato.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Più frazioni

La situazione può complicarsi parecchio se nell’equazione ci sono più frazioni e più espressioni al denominatore. Esempio:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Come si risolve questa equazione? Abbiamo due frazioni con denominatori diversi, e in entrambe compare la variabile x. La soluzione è moltiplicare l’equazione per entrambi i denominatori. Possiamo farlo in due tempi oppure tutto insieme. Se lo facciamo in due tempi, il calcolo procede così. Cominciamo moltiplicando per (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

A questo punto moltiplichiamo ancora l’equazione per l’altro denominatore, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Ora basta eliminare le parentesi e calcolare il risultato:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Il secondo procedimento consiste nel moltiplicare l’equazione per entrambi i denominatori contemporaneamente. Cioè, all’inizio moltiplichiamo l’equazione per l’espressione (x + 2)(x + 3). Otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Possiamo permettercelo, perché moltiplicare l’equazione per l’espressione a e poi per l’espressione b equivale a moltiplicarla per l’espressione a · b.