A szinusz, koszinusz, tangens és kotangens tulajdonságai

A szinusz és a koszinusz az alapvető szögfüggvények.

Szinusz

Az alfa szög szinusza egyenlő a szemközti befogó és az átfogó hosszának arányával a derékszögű háromszögben.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{A szemközti befogó hossza}}{\text{Az átfogó hossza}}$$

A szinuszfüggvény grafikonja a szinuszgörbe. A grafikont a következő ábrán nézheted meg:

A szinusz periodikus függvény, amelynek legkisebb periódusa 2π. További tulajdonságai:

• Az értelmezési tartomány az összes valós szám halmaza.
• Az értékkészlet a [−1; 1] intervallum.
• A szinusznak végtelen sok pontban van maximuma. Pontosabban az „első” maximuma az $x=\frac{\pi }{2}$ pontban van, és mivel periodikus függvény, maximuma van minden $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ pontban is, ahol k egész szám. A maximum értéke 1.
• Hasonlóan a minimumra: a szinusznak minimuma van a $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ pontokban, ahol k egész szám, és az értéke −1.
• A szinusz páratlan és korlátos függvény.

Koszinusz

Az alfa szög koszinusza egyenlő a melletti befogó és az átfogó hosszának arányával a derékszögű háromszögben. Ha tehát számológéppel kiszámítjuk az alfa szög koszinuszát, ennek a hányadosnak az értékét kapjuk:

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{a melletti befogó hossza}}{\text{az átfogó hossza}}.$$

A koszinuszfüggvény grafikonja a koszinuszgörbe. A grafikont a következő ábrán nézheted meg:

A koszinusz periodikus függvény, amelynek legkisebb periódusa 2π. További tulajdonságai:

• Az értelmezési tartomány az összes valós szám halmaza.
• Az értékkészlet a [−1; 1] intervallum.
• A koszinusznak végtelen sok pontban van maximuma. Pontosabban az „első” maximuma az x = 0 pontban van, és mivel periodikus függvény, maximuma van minden 2kπ pontban is, ahol k egész szám. A maximum értéke 1.
• Hasonlóan a minimumra: a koszinusznak minimuma van a π + 2kπ pontokban, ahol k egész szám, és az értéke −1.
• A koszinusz páros és korlátos függvény.

Tangens

Az alfa szög tangense egyenlő a szemközti befogó és a melletti befogó hosszának arányával a derékszögű háromszögben. A tangens jele általában tg vagy tan.

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{A szemközti befogó hossza}}{\text{A melletti befogó hossza}}$$

Ennek a függvénynek a grafikonja a tangensgörbe:

A tangens az előző függvényektől főleg a periódusában különbözik, amely már nem 2π, hanem csak π. További tulajdonságai:

• Az értelmezési tartomány a

$$D_{\mathrm{tg}}=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

halmaz.

• Az értékkészlet az összes valós szám halmaza.
• A tangensnek nincs sem maximuma, sem minimuma, és nem korlátos.
• A tangens páratlan függvény.

Kotangens

Az alfa szög kotangense egyenlő a melletti befogó és a szemközti befogó hosszának arányával. A kotangens jele általában ctg vagy cot.

$$\mathrm{ctg}(\alpha )=\frac{\text{A melletti befogó hossza}}{\text{A szemközti befogó hossza}}$$

Ennek a függvénynek a grafikonja a kotangensgörbe:

További tulajdonságai:

• A periódusa szintén π, mint a tangensé.
• Az értelmezési tartomány a

$$D_{\mathrm{ctg}}=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

halmaz.

• Az értékkészlet az összes valós szám halmaza.
• A kotangensnek nincs sem maximuma, sem minimuma, és nem korlátos.
• A kotangens páratlan függvény.

A szinusz és a koszinusz kapcsolata

A szögfüggvények között szoros összefüggések vannak. Ha a szinusz- és a koszinuszfüggvény grafikonját egyszerre nézed, láthatod, hogy nem sokban különböznek egymástól, az egyik csak kicsit el van tolva a másikhoz képest.

Ha tehát a függvény argumentumához mindig hozzáadunk π/2-t, a koszinuszfüggvényt kapjuk:

És fordítva: ha a koszinuszból kivonunk π/2-t, a szinuszt kapjuk.

Így felírhatjuk ezeket a képleteket:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Hogyan fejezzük ki a tangenst és a kotangenst

A tangensfüggvényt könnyen kifejezhetjük a szinusz és a koszinusz segítségével. Elég átgondolni, mi a tangens: a szemközti befogó és a melletti befogó hosszának aránya. Vegyük segítségül ezt a háromszöget:

Mivel egyenlő a béta szög tangense?

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Hogyan fejezhetnénk ki a számlálót vagy a nevezőt? Mivel egyenlő a b és a c oldal hossza? Tudjuk, hogy a béta szög szinusza:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Ebből a képletből kifejezzük a |b|-t:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

A béta szög koszinusza:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Kifejezzük a |c|-t:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Ezzel a b és c oldal hosszát kifejeztük a szinusz és a koszinusz függvénnyel. Ezeket a részeredményeket behelyettesítjük a tangenses eredeti egyenletbe:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

A számlálót és a nevezőt egyszerűsíthetjük |a|-val, és megkapjuk a végső képletet:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

A tangenst tehát felírhatjuk a szinusz és a koszinusz hányadosaként. Levezetés nélkül elmondjuk, hogy a kotangenst fordított törtként írhatjuk fel, azaz koszinusz per szinusz.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \mathrm{ctg}(\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

A tangens és a kotangens kapcsolata

Ahogy a szinusz- és a koszinuszfüggvény hasonlít egymásra, úgy hasonlít egymásra a tangens- és a kotangensfüggvény is. Nézd meg mindkét grafikont egy ábrán:

Hogyan csinálhatunk a tangenst leíró görbéből a kotangenst leíró görbét? A kotangens π/2-vel el van tolva, ezzel kezdjük:

Már közelebb kerültünk a kotangenshez, de a görbék még rossz irányba haladnak: a kotangens a kiválasztott intervallumokon szigorúan monoton csökkenő, míg ez az eltolt görbe szigorúan monoton növekvő. Ezen úgy segítünk, hogy megváltoztatjuk az x változó előjelét:

Felírhatjuk tehát:

$$\mathrm{ctg}(x)=\mathrm{tg}(-x+\frac{\pi }{2})$$

Táblázatos értékek

A szinusznak, koszinusznak, tangensnek és kotangensnek néhány szép szögnél szép értékei vannak. Itt van az alapvető áttekintésük:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{ctg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$