Propriedades do seno, do cosseno, da tangente e da cotangente

O seno e o cosseno são funções trigonométricas básicas.

Seno

O seno do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa em um triângulo retângulo.

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{\text{Comprimento do cateto oposto}}{\text{Comprimento da hipotenusa}}$$

O gráfico da função seno é uma curva chamada senoide. Você pode ver o gráfico na figura seguinte:

O seno é uma função periódica cujo menor período é 2π. Outras propriedades:

• O domínio é o conjunto de todos os números reais.
• O conjunto imagem é o intervalo [−1, 1].
• O seno tem máximo em infinitos pontos. Mais precisamente, o “primeiro” máximo está no ponto $x=\frac{\pi }{2}$ e, como é uma função periódica, tem máximo também em todo ponto $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, em que k é um número inteiro. O valor do máximo é então 1.
• De modo semelhante para o mínimo: o seno tem mínimo nos pontos $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, em que k é um número inteiro, e o seu valor é −1.
• O seno é uma função ímpar e limitada.

Cosseno

O cosseno do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa em um triângulo retângulo. Assim, se na calculadora calculamos o cosseno do ângulo alfa, obtemos o valor do quociente

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{comprimento do cateto adjacente}}{\text{comprimento da hipotenusa}}.$$

O gráfico da função cosseno é uma curva chamada cossenoide. Você pode ver o gráfico na figura seguinte:

O cosseno é uma função periódica cujo menor período é 2π. Outras propriedades:

• O domínio é o conjunto de todos os números reais.
• O conjunto imagem é o intervalo [−1, 1].
• O cosseno tem máximo em infinitos pontos. Mais precisamente, o “primeiro” máximo está no ponto x = 0 e, como é uma função periódica, tem máximo também em todo ponto 2kπ, em que k é um número inteiro. O valor do máximo é então 1.
• De modo semelhante para o mínimo: o cosseno tem mínimo nos pontos π + 2kπ, em que k é um número inteiro, e o seu valor é −1.
• O cosseno é uma função par e limitada.

Tangente

A tangente do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente em um triângulo retângulo. A tangente costuma ser indicada por tg (ou tan).

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{Comprimento do cateto oposto}}{\text{Comprimento do cateto adjacente}}$$

O gráfico dessa função é uma curva chamada tangentoide:

A tangente difere das funções anteriores principalmente no período, que já não é 2π, mas apenas π. Outras propriedades:

• O domínio é o conjunto

$$D(\mathrm{tg})=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• O conjunto imagem é o conjunto de todos os números reais.
• A tangente não tem máximo nem mínimo e não é limitada.
• A tangente é uma função ímpar.

Cotangente

A cotangente do ângulo alfa é igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento do cateto oposto. A cotangente costuma ser indicada por cotg (ou cot).

$$\mathrm{cotg}(\alpha )=\frac{\text{Comprimento do cateto adjacente}}{\text{Comprimento do cateto oposto}}$$

O gráfico dessa função é uma curva chamada cotangentoide:

Outras propriedades:

• O período também é π, como na tangente.
• O domínio é o conjunto

$$D(\mathrm{cotg})=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• O conjunto imagem é o conjunto de todos os números reais.
• A cotangente não tem máximo nem mínimo e não é limitada.
• A cotangente é uma função ímpar.

Relação entre o seno e o cosseno

As funções trigonométricas têm entre si relações estreitas. Se você olhar para o gráfico das funções seno e cosseno ao mesmo tempo, descobrirá que elas não diferem muito uma da outra, que uma é apenas um pouco deslocada em relação à outra.

Assim, se ao argumento da função somarmos sempre π/2, obtemos a função cosseno:

E, ao contrário, se do cosseno subtrairmos π/2, obtemos o seno.

Podemos assim escrever estas fórmulas:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \mathrm{sen}(x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Como expressar a tangente e a cotangente

Podemos expressar facilmente a função tangente por meio do seno e do cosseno. Basta lembrar o que é a tangente: a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente. Vamos usar este triângulo como ajuda:

A que é igual a tangente do ângulo beta?

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Como poderíamos expressar o numerador ou o denominador? A que são iguais o comprimento do lado b e o comprimento do lado c? Sabemos que o seno do ângulo beta é igual a:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Dessa fórmula isolamos |b|:

$$|b|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|$$

O cosseno do ângulo beta é igual a:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Isolamos |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Neste momento temos os comprimentos dos lados b e c expressos por meio das funções seno e cosseno. Substituímos esses resultados intermediários na equação original com a tangente:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Do numerador e do denominador podemos simplificar |a| e obtemos a fórmula final:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{\mathrm{sen}(\beta )}{\cos (\beta )}$$

Assim, podemos escrever a tangente como o quociente do seno pelo cosseno. Sem demonstração, dizemos ainda que podemos escrever a cotangente como a fração invertida, isto é, o quociente cosseno sobre seno.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{\mathrm{sen}(\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \mathrm{cotg}(\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\mathrm{sen}(\alpha )}\end{array}$$

Relação entre a tangente e a cotangente

Do mesmo modo que as funções seno e cosseno são parecidas, também são parecidas as funções tangente e cotangente. Observe os dois gráficos em uma só figura:

De que maneira fazemos, da curva que descreve a tangente, a curva que descreve a cotangente? A cotangente está deslocada de π/2; começamos por isso:

Já chegamos mais perto da cotangente, mas ainda temos as curvas no sentido errado: a cotangente é, nos intervalos escolhidos, decrescente, enquanto essa curva deslocada é crescente. Resolvemos isso trocando o sinal da variável x:

Podemos assim escrever:

$$\mathrm{cotg}(x)=\mathrm{tg}(-x+\frac{\pi }{2})$$

Ângulos notáveis

O seno, o cosseno, a tangente e a cotangente têm, para alguns ângulos bonitos, os chamados ângulos notáveis, valores bonitos. Aqui está um resumo básico:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{sen}& \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{cotg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$