Ιδιότητες ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Ημίτονο

Το ημίτονο της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{\text{Μήκος απέναντι κάθετης πλευράς}}{\text{Μήκος υποτείνουσας}}$$

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο είναι μια καμπύλη που λέγεται ημιτονοειδής. Τη γραφική παράσταση μπορείς να δεις στο επόμενο σχήμα:

Το ημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση με ελάχιστη περίοδο 2π. Άλλες ιδιότητες:

• Πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• Σύνολο τιμών είναι το διάστημα [−1, 1].
• Το ημίτονο έχει μέγιστο σε άπειρα σημεία. Συγκεκριμένα, το «πρώτο» μέγιστο το έχει στο σημείο $x=\frac{\pi }{2}$ και, επειδή είναι περιοδική συνάρτηση, έχει μέγιστο και σε κάθε σημείο $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, όπου k είναι ακέραιος αριθμός. Η τιμή του μέγιστου είναι τότε 1.
• Παρόμοια για το ελάχιστο: το ημίτονο έχει ελάχιστο στα σημεία $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, όπου k είναι ακέραιος αριθμός, και η τιμή του είναι −1.
• Το ημίτονο είναι περιττή και φραγμένη συνάρτηση.

Συνημίτονο

Το συνημίτονο της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν λοιπόν υπολογίσουμε σε υπολογιστή τσέπης το συνημίτονο της γωνίας άλφα, παίρνουμε την τιμή του πηλίκου

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha =\frac{\text{μήκος προσκείμενης κάθετης πλευράς}}{\text{μήκος υποτείνουσας}}.$$

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης συνημίτονο είναι μια καμπύλη που λέγεται συνημιτονοειδής. Τη γραφική παράσταση μπορείς να δεις στο επόμενο σχήμα:

Το συνημίτονο είναι περιοδική συνάρτηση με ελάχιστη περίοδο 2π. Άλλες ιδιότητες:

• Πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• Σύνολο τιμών είναι το διάστημα [−1, 1].
• Το συνημίτονο έχει μέγιστο σε άπειρα σημεία. Συγκεκριμένα, το «πρώτο» μέγιστο το έχει στο σημείο x = 0 και, επειδή είναι περιοδική συνάρτηση, έχει μέγιστο και σε κάθε σημείο 2kπ, όπου k είναι ακέραιος αριθμός. Η τιμή του μέγιστου είναι τότε 1.
• Παρόμοια για το ελάχιστο: το συνημίτονο έχει ελάχιστο στα σημεία π + 2kπ, όπου k είναι ακέραιος αριθμός, και η τιμή του είναι −1.
• Το συνημίτονο είναι άρτια και φραγμένη συνάρτηση.

Εφαπτομένη

Η εφαπτομένη της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της προσκείμενης κάθετης πλευράς σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Την εφαπτομένη τη συμβολίζουμε συνήθως εφ ή tan.

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\alpha =\frac{\text{Μήκος απέναντι κάθετης πλευράς}}{\text{Μήκος προσκείμενης κάθετης πλευράς}}$$

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια καμπύλη που λέγεται εφαπτομενοειδής:

Η εφαπτομένη διαφέρει από τις προηγούμενες συναρτήσεις κυρίως στην περίοδο, που δεν είναι πια 2π, αλλά μόνο π. Άλλες ιδιότητες:

• Πεδίο ορισμού είναι το σύνολο

$$D_{\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }}=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• Η εφαπτομένη δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο και δεν είναι φραγμένη.
• Η εφαπτομένη είναι περιττή συνάρτηση.

Συνεφαπτομένη

Η συνεφαπτομένη της γωνίας άλφα ισούται με το λόγο του μήκους της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς το μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς. Τη συνεφαπτομένη τη συμβολίζουμε συνήθως σφ ή cot.

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\alpha =\frac{\text{Μήκος προσκείμενης κάθετης πλευράς}}{\text{Μήκος απέναντι κάθετης πλευράς}}$$

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια καμπύλη που λέγεται συνεφαπτομενοειδής:

Άλλες ιδιότητες:

• Η περίοδος είναι επίσης π, όπως στην εφαπτομένη.
• Πεδίο ορισμού είναι το σύνολο

$$D_{\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }}=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• Η συνεφαπτομένη δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο και δεν είναι φραγμένη.
• Η συνεφαπτομένη είναι περιττή συνάρτηση.

Σχέση ανάμεσα στο ημίτονο και στο συνημίτονο

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν μεταξύ τους στενές σχέσεις. Όταν κοιτάξεις τη γραφική παράσταση του ημιτόνου και του συνημιτόνου ταυτόχρονα, θα διαπιστώσεις ότι δεν διαφέρουν πολύ, ότι η μία είναι απλώς λίγο μετατοπισμένη σε σχέση με την άλλη.

Αν λοιπόν στο όρισμα της συνάρτησης προσθέσουμε πάντα π/2, παίρνουμε τη συνάρτηση συνημίτονο:

Και αντίστροφα, αν στο συνημίτονο αφαιρέσουμε π/2, παίρνουμε το ημίτονο.

Μπορούμε έτσι να γράψουμε τους εξής τύπους:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x& =& \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x-\frac{\pi }{2})\\ \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x& =& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Πώς εκφράζουμε την εφαπτομένη και τη συνεφαπτομένη

Τη συνάρτηση εφαπτομένη μπορούμε εύκολα να την εκφράσουμε με το ημίτονο και το συνημίτονο. Αρκεί να θυμηθούμε τι είναι η εφαπτομένη: ο λόγος του μήκους της απέναντι κάθετης πλευράς προς το μήκος της προσκείμενης κάθετης πλευράς. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το τρίγωνο:

Με τι ισούται η εφαπτομένη της γωνίας βήτα;

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\beta =\frac{|b|}{|c|}.$$

Πώς θα μπορούσαμε να εκφράσουμε τον αριθμητή ή τον παρονομαστή; Με τι ισούται το μήκος της πλευράς b και το μήκος της πλευράς c; Ξέρουμε ότι το ημίτονο της γωνίας βήτα ισούται με:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta =\frac{|b|}{|a|}$$

Από αυτόν τον τύπο απομονώνουμε το |b|:

$$|b|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|$$

Το συνημίτονο της γωνίας βήτα ισούται με:

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\beta =\frac{|c|}{|a|}$$

Απομονώνουμε το |c|:

$$|c|=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\beta \cdot |a|$$

Τώρα έχουμε τα μήκη των πλευρών b και c εκφρασμένα με τις συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο. Αντικαθιστούμε λοιπόν αυτά τα ενδιάμεσα αποτελέσματα στην αρχική ισότητα με την εφαπτομένη:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\beta =\frac{|b|}{|c|}=\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\beta \cdot |a|}$$

Από τον αριθμητή και τον παρονομαστή μπορούμε να απλοποιήσουμε το |a| και παίρνουμε τον τελικό τύπο:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\beta =\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\beta }$$

Την εφαπτομένη μπορούμε έτσι να τη γράψουμε ως πηλίκο του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Χωρίς απόδειξη θα πούμε ακόμη ότι τη συνεφαπτομένη μπορούμε να τη γράψουμε ως αντεστραμμένο κλάσμα, δηλαδή συνημίτονο προς ημίτονο.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\alpha & =& \frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha }\\ \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\alpha & =& \frac{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha }{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }\end{array}$$

Σχέση ανάμεσα στην εφαπτομένη και στη συνεφαπτομένη

Όπως μοιάζουν μεταξύ τους οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο, μοιάζουν και οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Δες και τις δύο γραφικές παραστάσεις σε ένα σχήμα:

Πώς θα φτιάξουμε από την καμπύλη που περιγράφει την εφαπτομένη την καμπύλη που περιγράφει τη συνεφαπτομένη; Η συνεφαπτομένη είναι μετατοπισμένη κατά π/2, από εκεί ξεκινάμε:

Πλησιάσαμε ήδη τη συνεφαπτομένη, αλλά οι καμπύλες έχουν ακόμη λάθος κατεύθυνση: η συνεφαπτομένη είναι στα επιλεγμένα διαστήματα γνησίως φθίνουσα, ενώ αυτή η μετατοπισμένη καμπύλη είναι γνησίως αύξουσα. Το διορθώνουμε αλλάζοντας το πρόσημο της μεταβλητής x:

Μπορούμε έτσι να γράψουμε:

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }x=\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(-x+\frac{\pi }{2})$$

Πίνακας τιμών

Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν για ορισμένες «ωραίες» γωνίες ωραίες τιμές. Εδώ είναι μια βασική σύνοψη:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }& \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }& \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }& \mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$