Eigenschappen van sinus, cosinus, tangens en cotangens

Sinus en cosinus zijn de goniometrische basisfuncties.

Sinus

De sinus van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de schuine zijde in een rechthoekige driehoek.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Lengte van de overstaande rechthoekszijde}}{\text{Lengte van de schuine zijde}}$$

De grafiek van de functie sinus is een kromme die sinusoïde heet. De grafiek kun je bekijken in de volgende afbeelding:

De sinus is een periodieke functie met als kleinste periode 2π. Verdere eigenschappen:

• Het domein is de verzameling van alle reële getallen.
• Het bereik is het interval [−1, 1].
• De sinus heeft een maximum in oneindig veel punten. Preciezer: het “eerste” maximum ligt in het punt $x=\frac{\pi }{2}$ en omdat het een periodieke functie is, heeft ze ook een maximum in elk punt $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, waarbij k een geheel getal is. De waarde van het maximum is dan 1.
• Op dezelfde manier voor het minimum: de sinus heeft een minimum in de punten $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, waarbij k een geheel getal is, en de waarde ervan is −1.
• De sinus is een oneven en begrensde functie.

Cosinus

De cosinus van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde tot de lengte van de schuine zijde in een rechthoekige driehoek. Als we op een rekenmachine de cosinus van de hoek alfa berekenen, krijgen we dus de waarde van het quotiënt

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lengte van de aanliggende rechthoekszijde}}{\text{lengte van de schuine zijde}}.$$

De grafiek van de functie cosinus is een kromme die cosinusoïde heet. De grafiek kun je bekijken in de volgende afbeelding:

De cosinus is een periodieke functie met als kleinste periode 2π. Verdere eigenschappen:

• Het domein is de verzameling van alle reële getallen.
• Het bereik is het interval [−1, 1].
• De cosinus heeft een maximum in oneindig veel punten. Preciezer: het “eerste” maximum ligt in het punt x = 0 en omdat het een periodieke functie is, heeft ze ook een maximum in elk punt 2kπ, waarbij k een geheel getal is. De waarde van het maximum is dan 1.
• Op dezelfde manier voor het minimum: de cosinus heeft een minimum in de punten π + 2kπ, waarbij k een geheel getal is, en de waarde ervan is −1.
• De cosinus is een even en begrensde functie.

Tangens

De tangens van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de aanliggende rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. De tangens noteren we als tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Lengte van de overstaande rechthoekszijde}}{\text{Lengte van de aanliggende rechthoekszijde}}$$

De grafiek van deze functie is een kromme die tangenscurve heet:

De tangens verschilt van de voorgaande functies vooral in de periode, die niet meer 2π is, maar slechts één π. Verdere eigenschappen:

• Het domein is de verzameling

$$D_{\tan }=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Het bereik is de verzameling van alle reële getallen.
• De tangens heeft geen maximum en geen minimum en is niet begrensd.
• De tangens is een oneven functie.

Cotangens

De cotangens van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde tot de lengte van de overstaande rechthoekszijde. De cotangens noteren we als cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Lengte van de aanliggende rechthoekszijde}}{\text{Lengte van de overstaande rechthoekszijde}}$$

De grafiek van deze functie is een kromme die cotangenscurve heet:

Verdere eigenschappen:

• De periode is ook π, net als bij de tangens.
• Het domein is de verzameling

$$D_{\cot }=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Het bereik is de verzameling van alle reële getallen.
• De cotangens heeft geen maximum en geen minimum en is niet begrensd.
• De cotangens is een oneven functie.

Verband tussen sinus en cosinus

Goniometrische functies hebben nauwe verbanden met elkaar. Als je naar de grafiek van de functie sinus en cosinus tegelijk kijkt, zie je dat ze niet veel van elkaar verschillen, dat de ene maar een beetje is verschoven ten opzichte van de andere.

Als we dus bij het argument van de functie altijd π/2 optellen, krijgen we de functie cosinus:

En omgekeerd, als we bij de cosinus π/2 aftrekken, krijgen we de sinus.

We kunnen dus deze formules opschrijven:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Hoe je de tangens en cotangens uitdrukt

De functie tangens kunnen we gemakkelijk uitdrukken met behulp van de sinus en cosinus. We hoeven ons maar te realiseren wat de tangens is: de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de aanliggende rechthoekszijde. We nemen deze driehoek erbij:

Waaraan is de tangens van de hoek beta gelijk?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Hoe zouden we de teller of de noemer kunnen uitdrukken? Waaraan zijn de lengte van zijde b en de lengte van zijde c gelijk? We weten dat de sinus van de hoek beta gelijk is aan:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Uit die formule maken we |b| vrij:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

De cosinus van de hoek beta is gelijk aan:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

We maken |c| vrij:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Nu hebben we de lengtes van de zijden b en c uitgedrukt met behulp van de functies sinus en cosinus. We vullen deze tussenresultaten dus in de oorspronkelijke vergelijking met de tangens in:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Uit de teller en de noemer kunnen we |a| wegdelen en we krijgen de uiteindelijke formule:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

De tangens kunnen we dus uitschrijven als het quotiënt van sinus en cosinus. Zonder afleiding vertellen we nog dat we de cotangens kunnen schrijven als de omgekeerde breuk, dus het quotiënt cosinus gedeeld door sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Verband tussen tangens en cotangens

Net zoals de functies sinus en cosinus op elkaar lijken, lijken ook de functies tangens en cotangens op elkaar. Bekijk beide grafieken in één afbeelding:

Hoe maken we van de kromme die de tangens beschrijft een kromme die de cotangens beschrijft? De cotangens is over π/2 verschoven, daarmee beginnen we:

We zijn al dichter bij de cotangens, maar we hebben de krommen nog in de verkeerde richting, de cotangens is op de gekozen intervallen strikt dalend, terwijl deze verschoven kromme strikt stijgend is. Dat verhelpen we door het teken van de variabele x te veranderen:

We kunnen dus schrijven:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Exacte waarden

De sinus, cosinus, tangens en cotangens hebben voor enkele mooie hoeken mooie uitkomsten. Hier is een basisoverzicht:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$