Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Sini ja kosini ovat trigonometrisia perusfunktioita.

Sini

Kulman alfa sini on yhtä suuri kuin vastaisen kateetin pituuden ja hypotenuusan pituuden suhde suorakulmaisessa kolmiossa.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Vastaisen kateetin pituus}}{\text{Hypotenuusan pituus}}$$

Sinifunktion kuvaaja on käyrä, jota sanotaan sinikäyräksi. Kuvaajan voi katsoa seuraavasta kuvasta:

Sini on jaksollinen funktio, jonka pienin jakso on 2π. Muita ominaisuuksia:

• Määrittelyjoukko on kaikkien reaalilukujen joukko.
• Arvojoukko on väli [−1, 1].
• Sinillä on maksimi äärettömän monessa pisteessä. Tarkemmin sanottuna ”ensimmäinen” maksimi on pisteessä $x=\frac{\pi }{2}$, ja koska funktio on jaksollinen, maksimi on myös jokaisessa pisteessä $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, missä k on kokonaisluku. Maksimin arvo on tällöin 1.
• Samoin minimille: sinillä on minimi pisteissä $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, missä k on kokonaisluku, ja sen arvo on −1.
• Sini on pariton ja rajoitettu funktio.

Kosini

Kulman alfa kosini on yhtä suuri kuin viereisen kateetin pituuden ja hypotenuusan pituuden suhde suorakulmaisessa kolmiossa. Jos siis lasketaan laskimella kulman alfa kosini, saadaan osamäärän arvo

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{viereisen kateetin pituus}}{\text{hypotenuusan pituus}}.$$

Kosinifunktion kuvaaja on käyrä, jota sanotaan kosinikäyräksi. Kuvaajan voi katsoa seuraavasta kuvasta:

Kosini on jaksollinen funktio, jonka pienin jakso on 2π. Muita ominaisuuksia:

• Määrittelyjoukko on kaikkien reaalilukujen joukko.
• Arvojoukko on väli [−1, 1].
• Kosinilla on maksimi äärettömän monessa pisteessä. Tarkemmin sanottuna ”ensimmäinen” maksimi on pisteessä x = 0, ja koska funktio on jaksollinen, maksimi on myös jokaisessa pisteessä 2kπ, missä k on kokonaisluku. Maksimin arvo on tällöin 1.
• Samoin minimille: kosinilla on minimi pisteissä π + 2kπ, missä k on kokonaisluku, ja sen arvo on −1.
• Kosini on parillinen ja rajoitettu funktio.

Tangentti

Kulman alfa tangentti on yhtä suuri kuin vastaisen kateetin pituuden ja viereisen kateetin pituuden suhde suorakulmaisessa kolmiossa. Tangenttia merkitään tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Vastaisen kateetin pituus}}{\text{Viereisen kateetin pituus}}$$

Tämän funktion kuvaaja on käyrä, jota sanotaan tangenttikäyräksi:

Tangentti eroaa aiemmista funktioista ennen kaikkea jaksonsa suhteen: jakso ei ole 2π vaan ainoastaan π. Muita ominaisuuksia:

• Tangentin määrittelyjoukko on joukko

$$\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \},k\in \mathbb{Z}$$

• Arvojoukko on kaikkien reaalilukujen joukko.
• Tangentilla ei ole maksimia eikä minimiä, eikä se ole rajoitettu.
• Tangentti on pariton funktio.

Kotangentti

Kulman alfa kotangentti on yhtä suuri kuin viereisen kateetin pituuden ja vastaisen kateetin pituuden suhde. Kotangenttia merkitään cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Viereisen kateetin pituus}}{\text{Vastaisen kateetin pituus}}$$

Tämän funktion kuvaaja on käyrä, jota sanotaan kotangenttikäyräksi:

Muita ominaisuuksia:

• Jakso on myös π, kuten tangentilla.
• Kotangentin määrittelyjoukko on joukko

$$\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$$

• Arvojoukko on kaikkien reaalilukujen joukko.
• Kotangentilla ei ole maksimia eikä minimiä, eikä se ole rajoitettu.
• Kotangentti on pariton funktio.

Sinin ja kosinin yhteys

Trigonometristen funktioiden välillä on läheisiä yhteyksiä. Kun katsotaan sinifunktion ja kosinifunktion kuvaajaa yhtä aikaa, huomataan, etteivät ne juuri eroa toisistaan: toinen on vain hieman siirtynyt toiseen verrattuna.

Jos siis funktion argumenttiin lisätään aina π/2, saadaan kosinifunktio:

Ja päinvastoin, jos kosinin argumentista vähennetään π/2, saadaan sini.

Näin voidaan kirjoittaa nämä kaavat:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Tangentin ja kotangentin esittäminen

Tangenttifunktio voidaan helposti esittää sinin ja kosinin avulla. Riittää muistaa, mikä tangentti on: vastaisen kateetin pituuden ja viereisen kateetin pituuden suhde. Otetaan avuksi tämä kolmio:

Mitä on kulman beta tangentti?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Miten osoittaja tai nimittäjä voitaisiin esittää toisin? Mitä ovat sivun b ja sivun c pituudet? Tiedetään, että kulman beta sini on

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Tästä kaavasta eristetään |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Kulman beta kosini on

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Eristetään |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Nyt sivujen b ja c pituudet on esitetty sini- ja kosinifunktion avulla. Sijoitetaan nämä välitulokset alkuperäiseen tangenttia koskevaan yhtälöön:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Osoittajasta ja nimittäjästä voidaan supistaa |a|, jolloin saadaan lopullinen kaava:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Tangentti voidaan siis kirjoittaa sinin ja kosinin osamääränä. Ilman johtamista todetaan, että kotangentti voidaan kirjoittaa käänteisenä murtolukuna, eli kosini jaettuna sinillä.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Tangentin ja kotangentin yhteys

Samoin kuin sini- ja kosinifunktiot muistuttavat toisiaan, muistuttavat toisiaan myös tangentti- ja kotangenttifunktiot. Katso molempia kuvaajia samassa kuvassa:

Miten tangenttia kuvaavasta käyrästä saadaan kotangenttia kuvaava käyrä? Kotangentti on siirretty π/2:n verran, joten aloitetaan siitä:

Ollaan jo päästy lähemmäs kotangenttia, mutta käyrät ovat edelleen väärin päin: kotangentti on valituilla väleillä aidosti vähenevä, kun taas tämä siirretty käyrä on aidosti kasvava. Tämä korjataan vaihtamalla muuttujan x etumerkki:

Näin voidaan kirjoittaa:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Tarkat arvot

Sinillä, kosinilla, tangentilla ja kotangentilla on joillakin erikoiskulmilla siistit arvot. Tässä niiden perusyhteenveto:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$