Свойства на синус, косинус, тангенс и котангенс

Синусът и косинусът са основните тригонометрични функции.

Синус

Синусът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Дължина на срещулежащия катет}}{\text{Дължина на хипотенузата}}$$

Графиката на функцията синус е крива, наречена синусоида. Графиката можеш да я разгледаш на следния чертеж:

Синусът е периодична функция, която има най-малък период 2π. Други свойства:

• Дефиниционното множество е множеството на всички реални числа.
• Множеството от стойности е интервалът [−1; 1].
• Синусът има максимум в безкрайно много точки. По-точно „първия“ си максимум достига в точката $x=\frac{\pi }{2}$ и тъй като е периодична функция, има максимум и във всяка точка $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, където k е цяло число. Стойността на максимума е 1.
• Подобно за минимума: синусът има минимум в точките $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, където k е цяло число и стойността му е −1.
• Синусът е нечетна и ограничена функция.

Косинус

Косинусът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник. Така че ако на калкулатор пресметнем косинуса на ъгъл алфа, получаваме с това стойността на частното

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{дължина на прилежащия катет}}{\text{дължина на хипотенузата}}.$$

Графиката на функцията косинус е крива, наречена косинусоида. Графиката можеш да я разгледаш на следния чертеж:

Косинусът е периодична функция, която има най-малък период 2π. Други свойства:

• Дефиниционното множество е множеството на всички реални числа.
• Множеството от стойности е интервалът [−1; 1].
• Косинусът има максимум в безкрайно много точки. По-точно „първия“ си максимум достига в точката x = 0 и тъй като е периодична функция, има максимум и във всяка точка 2kπ, където k е цяло число. Стойността на максимума е 1.
• Подобно за минимума: косинусът има минимум в точките π + 2kπ, където k е цяло число и стойността му е −1.
• Косинусът е четна и ограничена функция.

Тангенс

Тангенсът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на прилежащия катет в правоъгълен триъгълник. Тангенса означаваме tg.

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{Дължина на срещулежащия катет}}{\text{Дължина на прилежащия катет}}$$

Графиката на тази функция е крива, наречена тангенсоида:

Тангенсът се различава от предишните функции най-вече по периода, който вече не е 2π, а само π. Други свойства:

• Дефиниционното множество е множеството

$$D(\mathrm{tg})=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Множеството от стойности е множеството на всички реални числа.
• Тангенсът няма нито максимум, нито минимум и не е ограничена функция.
• Тангенсът е нечетна функция.

Котангенс

Котангенсът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на срещулежащия катет. Котангенса означаваме cotg.

$$\mathrm{cotg}(\alpha )=\frac{\text{Дължина на прилежащия катет}}{\text{Дължина на срещулежащия катет}}$$

Графиката на тази функция е крива, наречена котангенсоида:

Други свойства:

• Периодът също е π, както при тангенса.
• Дефиниционното множество е множеството

$$D(\mathrm{cotg})=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Множеството от стойности е множеството на всички реални числа.
• Котангенсът няма нито максимум, нито минимум и не е ограничена функция.
• Котангенсът е нечетна функция.

Връзка между синуса и косинуса

Тригонометричните функции имат помежду си тесни връзки. Когато погледнеш графиката на функциите синус и косинус едновременно, ще установиш, че не се различават много една от друга, че едната е само малко изместена спрямо другата.

Така че ако към аргумента на функцията винаги прибавим π/2, получаваме функцията косинус:

И обратно, ако от косинуса извадим π/2, получаваме синус.

Така можем да запишем тези формули:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Как да изразим тангенса и котангенса

Функцията тангенс можем лесно да я изразим с помощта на синуса и косинуса. Достатъчно е да си дадем сметка какво е тангенс: отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на прилежащия катет. Вземаме за помощ този триъгълник:

На какво е равен тангенсът на ъгъл бета?

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Как бихме могли да изразим числителя или знаменателя? На какво е равна дължината на страната b и дължината на страната c? Знаем, че синусът на ъгъл бета е равен на:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

От тази формула изразяваме |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Косинусът на ъгъл бета е равен на:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Изразяваме |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

В този момент имаме дължините на страните b и c изразени с помощта на функциите синус и косинус. Сега заместваме тези междинни резултати в първоначалното уравнение с тангенса:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

От числителя и знаменателя можем да съкратим |a| и получаваме крайната формула:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Така тангенса можем да запишем като частно на синуса и косинуса. Без извод ще кажем, че котангенса можем да запишем като обърната дроб, тоест частното косинус върху синус.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \mathrm{cotg}(\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Връзка между тангенса и котангенса

Подобно на това как си приличат функциите синус и косинус, си приличат и функциите тангенс и котангенс. Погледни двете графики на един чертеж:

Как от кривата, която описва тангенса, да направим крива, описваща котангенса? Котангенсът е изместен с π/2, с това започваме:

Вече се приближихме до котангенса, но кривите все още са в грешна посока, котангенсът в избраните интервали е намаляващ, докато тази изместена крива е растяща. Това ще поправим, като сменим знака на променливата x:

Така можем да запишем:

$$\mathrm{cotg}(x)=\mathrm{tg}(-x+\frac{\pi }{2})$$

Таблични стойности

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът имат за някои удобни ъгли прости стойности. Ето основния им преглед:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{cotg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$