Propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente

Le sinus et le cosinus sont les fonctions trigonométriques de base.

Sinus

Le sinus d'un angle alpha est égal au rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur de l’hypoténuse}}$$

La courbe représentative de la fonction sinus est une courbe appelée sinusoïde. On peut la voir sur la figure suivante :

Le sinus est une fonction périodique, de plus petite période 2π. Autres propriétés :

• L'ensemble de définition est l'ensemble de tous les nombres réels.
• L'ensemble image est l'intervalle [−1 ; 1].
• Le sinus atteint son maximum en une infinité de points. Plus précisément, le « premier » maximum est atteint en $x=\frac{\pi }{2}$ et, puisque la fonction est périodique, il est aussi atteint en chaque point $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, où k est un entier relatif. La valeur du maximum est alors 1.
• De même pour le minimum : le sinus atteint son minimum aux points $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, où k est un entier relatif, et sa valeur est −1.
• Le sinus est une fonction impaire et une fonction bornée.

Cosinus

Le cosinus de l'angle alpha est égal au rapport de la longueur du côté adjacent sur la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle. Ainsi, si l'on calcule à la calculatrice le cosinus de l'angle alpha, on obtient la valeur du quotient

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l’hypoténuse}}.$$

La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée cosinusoïde. On peut la voir sur la figure suivante :

Le cosinus est une fonction périodique, de plus petite période 2π. Autres propriétés :

• L'ensemble de définition est l'ensemble de tous les nombres réels.
• L'ensemble image est l'intervalle [−1 ; 1].
• Le cosinus atteint son maximum en une infinité de points. Plus précisément, le « premier » maximum est atteint en x = 0 et, la fonction étant périodique, il est aussi atteint en chaque point 2kπ, où k est un entier relatif. La valeur du maximum est alors 1.
• De même pour le minimum : le cosinus atteint son minimum aux points π + 2kπ, où k est un entier relatif, et sa valeur est −1.
• Le cosinus est une fonction paire et une fonction bornée.

Tangente

La tangente de l'angle alpha est égale au rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle. On note généralement la tangente tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur du côté adjacent}}$$

Voici la courbe représentative de cette fonction :

La tangente se distingue surtout des précédentes par sa période, qui n'est plus 2π mais seulement π. Autres propriétés :

• L'ensemble de définition est l'ensemble

$${\mathcal{D}}_{\tan }=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• L'ensemble image est l'ensemble de tous les nombres réels.
• La tangente n'a ni maximum ni minimum et n'est pas bornée.
• La tangente est une fonction impaire.

Cotangente

La cotangente de l'angle alpha est égale au rapport de la longueur du côté adjacent sur la longueur du côté opposé. On note généralement la cotangente cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Longueur du côté adjacent}}{\text{Longueur du côté opposé}}$$

Voici la courbe représentative de cette fonction :

Autres propriétés :

• La période est également π, comme pour la tangente.
• L'ensemble de définition est l'ensemble

$${\mathcal{D}}_{\cot }=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• L'ensemble image est l'ensemble de tous les nombres réels.
• La cotangente n'a ni maximum ni minimum et n'est pas bornée.
• La cotangente est une fonction impaire.

Relation entre le sinus et le cosinus

Les fonctions trigonométriques entretiennent des liens étroits. Si l'on regarde simultanément les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus, on constate qu'elles ne diffèrent guère : l'une n'est qu'un peu décalée par rapport à l'autre.

Ainsi, si l'on ajoute π/2 à la variable de la fonction sinus, on obtient la fonction cosinus :

Inversement, si l'on retranche π/2 à la variable du cosinus, on obtient le sinus.

On peut ainsi écrire ces formules :

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Exprimer la tangente et la cotangente

La tangente s'exprime facilement à l'aide du sinus et du cosinus. Il suffit de se rappeler ce qu'est la tangente : le rapport de la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Prenons à cet effet le triangle suivant :

À quoi est égale la tangente de l'angle bêta ?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Comment pourrions-nous exprimer le numérateur ou le dénominateur ? À quoi sont égales les longueurs des côtés b et c ? On sait que le sinus de l'angle bêta vaut :

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

On isole |b| dans cette formule :

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Le cosinus de l'angle bêta vaut :

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

On isole |c| :

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

On dispose maintenant des longueurs des côtés b et c exprimées à l'aide des fonctions sinus et cosinus. On remplace donc ces résultats intermédiaires dans l'équation de départ avec la tangente :

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

On peut simplifier |a| au numérateur et au dénominateur, et l'on obtient la formule finale :

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

La tangente peut donc s'écrire comme le quotient du sinus par le cosinus. Sans le démontrer, on admet que la cotangente s'écrit comme la fraction inverse, c'est-à-dire le quotient du cosinus par le sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Relation entre la tangente et la cotangente

De même que le sinus et le cosinus se ressemblent, la tangente et la cotangente se ressemblent aussi. Observons les deux courbes sur une même figure :

Comment obtenir, à partir de la courbe de la tangente, la courbe de la cotangente ? La cotangente est décalée de π/2, commençons par là :

On s'est déjà rapproché de la cotangente, mais les courbes sont encore dans le mauvais sens : la cotangente est strictement décroissante sur certains intervalles, alors que cette courbe décalée est strictement croissante. Pour corriger cela, on change le signe de la variable x :

On peut ainsi écrire :

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Valeurs remarquables

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente prennent des valeurs simples pour certains angles remarquables. Voici un aperçu de ces valeurs :

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$