Proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente

Seno e coseno sono le funzioni goniometriche fondamentali.

Seno

Il seno dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell’ipotenusa in un triangolo rettangolo.

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{\text{Lunghezza del cateto opposto}}{\text{Lunghezza dell’ipotenusa}}$$

Il grafico della funzione seno è una curva detta sinusoide. Puoi vedere il grafico nella figura seguente:

Il seno è una funzione periodica con periodo minimo 2π. Altre proprietà:

• Il dominio è l’insieme di tutti i numeri reali.
• L’insieme immagine è l’intervallo [−1; 1].
• Il seno ha il massimo in infiniti punti. Più precisamente, il «primo» massimo si trova nel punto $x=\frac{\pi }{2}$ e, poiché la funzione è periodica, il massimo si trova anche in ogni punto $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, dove k è un numero intero. Il valore del massimo è 1.
• Analogamente per il minimo: il seno ha il minimo nei punti $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, dove k è un numero intero, e il suo valore è −1.
• Il seno è una funzione dispari e limitata.

Coseno

Il coseno dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza dell’ipotenusa in un triangolo rettangolo. Quindi, se con la calcolatrice calcoliamo il coseno dell’angolo alfa, otteniamo il valore del quoziente

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lunghezza del cateto adiacente}}{\text{lunghezza dell’ipotenusa}}.$$

Il grafico della funzione coseno è una curva detta cosinusoide. Puoi vedere il grafico nella figura seguente:

Il coseno è una funzione periodica con periodo minimo 2π. Altre proprietà:

• Il dominio è l’insieme di tutti i numeri reali.
• L’insieme immagine è l’intervallo [−1; 1].
• Il coseno ha il massimo in infiniti punti. Più precisamente, il «primo» massimo si trova nel punto x = 0 e, poiché la funzione è periodica, il massimo si trova anche in ogni punto 2kπ, dove k è un numero intero. Il valore del massimo è 1.
• Analogamente per il minimo: il coseno ha il minimo nei punti π + 2kπ, dove k è un numero intero, e il suo valore è −1.
• Il coseno è una funzione pari e limitata.

Tangente

La tangente dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza del cateto adiacente in un triangolo rettangolo. La tangente di solito si indica con tan oppure con tg.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Lunghezza del cateto opposto}}{\text{Lunghezza del cateto adiacente}}$$

Il grafico di questa funzione è una curva detta tangentoide:

La tangente si distingue dalle funzioni precedenti soprattutto per il periodo, che non è più 2π, ma soltanto π. Altre proprietà:

• Il dominio è l’insieme

$$D(\tan )=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• L’insieme immagine è l’insieme di tutti i numeri reali.
• La tangente non ha né massimo né minimo e non è limitata.
• La tangente è una funzione dispari.

Cotangente

La cotangente dell’angolo alfa è uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza del cateto opposto. La cotangente di solito si indica con cot oppure con cotg.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Lunghezza del cateto adiacente}}{\text{Lunghezza del cateto opposto}}$$

Il grafico di questa funzione è una curva detta cotangentoide:

Altre proprietà:

• Anche il periodo è π, come per la tangente.
• Il dominio è l’insieme

$$D(\cot )=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• L’insieme immagine è l’insieme di tutti i numeri reali.
• La cotangente non ha né massimo né minimo e non è limitata.
• La cotangente è una funzione dispari.

Relazione tra seno e coseno

Le funzioni goniometriche sono strettamente legate tra loro. Se guardi insieme il grafico delle funzioni seno e coseno, noterai che le due curve non sono molto diverse: una è solo un po’ spostata rispetto all’altra.

Quindi, se all’argomento della funzione aggiungiamo sempre π/2, otteniamo la funzione coseno:

E viceversa, se dall’argomento del coseno sottraiamo π/2, otteniamo il seno.

Possiamo così scrivere queste formule:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \mathrm{sen}(x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Come esprimere tangente e cotangente

La funzione tangente si può esprimere facilmente con seno e coseno. Basta ricordare che cos’è la tangente: il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza del cateto adiacente. Ci aiutiamo con questo triangolo:

A che cosa è uguale la tangente dell’angolo beta?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Come potremmo esprimere il numeratore o il denominatore? A che cosa sono uguali la lunghezza del lato b e quella del lato c? Sappiamo che il seno dell’angolo beta è uguale a:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Da questa formula isoliamo |b|:

$$|b|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|$$

Il coseno dell’angolo beta è uguale a:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Isoliamo |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

A questo punto abbiamo le lunghezze dei lati b e c espresse con le funzioni seno e coseno. Sostituiamo quindi questi risultati intermedi nell’equazione originale con la tangente:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Dal numeratore e dal denominatore possiamo semplificare |a| e otteniamo la formula finale:

$$\tan (\beta )=\frac{\mathrm{sen}(\beta )}{\cos (\beta )}$$

La tangente si può quindi scrivere come quoziente di seno e coseno. Senza dimostrazione, diciamo che la cotangente si può scrivere come frazione capovolta, cioè coseno fratto seno.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\mathrm{sen}(\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\mathrm{sen}(\alpha )}\end{array}$$

Relazione tra tangente e cotangente

Così come seno e coseno sono simili, lo sono anche le funzioni tangente e cotangente. Guarda entrambi i grafici in un’unica figura:

In che modo dalla curva che descrive la tangente otteniamo la curva che descrive la cotangente? La cotangente è traslata di π/2, e cominciamo da qui:

Ci siamo già avvicinati alla cotangente, ma le curve hanno ancora il verso sbagliato: la cotangente è decrescente negli intervalli scelti, mentre questa curva traslata è crescente. Rimediamo cambiando il segno della variabile x:

Possiamo quindi scrivere:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Valori notevoli

Seno, coseno, tangente e cotangente hanno per alcuni angoli «belli» valori altrettanto belli. Ecco il loro quadro riassuntivo:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{sen}& \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$