Eigenschaften von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Sinus und Kosinus sind grundlegende Winkelfunktionen.

Sinus

Der Sinus des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}$$

Der Graph der Sinusfunktion ist eine Kurve, die Sinuskurve heißt. Den Graphen siehst du im folgenden Bild:

Der Sinus ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode 2π. Weitere Eigenschaften:

• Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen.
• Die Wertemenge ist das Intervall [−1; 1].
• Der Sinus hat in unendlich vielen Punkten ein Maximum. Genauer gesagt hat er das „erste“ Maximum im Punkt $x=\frac{\pi }{2}$ und da es eine periodische Funktion ist, hat er ein Maximum auch in jedem Punkt $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, wobei k eine ganze Zahl ist. Der Wert des Maximums ist dann 1.
• Ähnlich beim Minimum: Der Sinus hat ein Minimum in den Punkten $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, wobei k eine ganze Zahl ist, und sein Wert ist −1.
• Der Sinus ist eine ungerade und beschränkte Funktion.

Kosinus

Der Kosinus des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Wenn wir also auf dem Taschenrechner den Kosinus des Winkels alpha berechnen, erhalten wir den Wert des Quotienten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Hypotenuse}}.$$

Der Graph der Kosinusfunktion ist eine Kurve, die Kosinuskurve heißt. Den Graphen siehst du im folgenden Bild:

Der Kosinus ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode 2π. Weitere Eigenschaften:

• Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen.
• Die Wertemenge ist das Intervall [−1; 1].
• Der Kosinus hat in unendlich vielen Punkten ein Maximum. Genauer gesagt hat er das „erste“ Maximum im Punkt x = 0 und da es eine periodische Funktion ist, hat er ein Maximum auch in jedem Punkt 2kπ, wobei k eine ganze Zahl ist. Der Wert des Maximums ist dann 1.
• Ähnlich beim Minimum: Der Kosinus hat ein Minimum in den Punkten π + 2kπ, wobei k eine ganze Zahl ist, und sein Wert ist −1.
• Der Kosinus ist eine gerade und beschränkte Funktion.

Tangens

Der Tangens des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Ankathete im rechtwinkligen Dreieck. Den Tangens bezeichnen wir üblicherweise mit tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Länge der Gegenkathete}}{\text{Länge der Ankathete}}$$

Der Graph dieser Funktion ist eine Kurve, die Tangenskurve heißt:

Der Tangens unterscheidet sich von den vorherigen Funktionen vor allem in der Periode, die nicht mehr 2π ist, sondern nur π. Weitere Eigenschaften:

• Die Definitionsmenge ist die Menge

$$D_{\tan }=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Die Wertemenge ist die Menge aller reellen Zahlen.
• Der Tangens hat weder ein Maximum noch ein Minimum und ist nicht beschränkt.
• Der Tangens ist eine ungerade Funktion.

Kotangens

Der Kotangens des Winkels alpha ist gleich dem Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Gegenkathete. Den Kotangens bezeichnen wir üblicherweise mit cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Länge der Ankathete}}{\text{Länge der Gegenkathete}}$$

Der Graph dieser Funktion ist eine Kurve, die Kotangenskurve heißt:

Weitere Eigenschaften:

• Die Periode ist ebenfalls π, wie beim Tangens.
• Die Definitionsmenge ist die Menge

$$D_{\cot }=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Die Wertemenge ist die Menge aller reellen Zahlen.
• Der Kotangens hat weder ein Maximum noch ein Minimum und ist nicht beschränkt.
• Der Kotangens ist eine ungerade Funktion.

Beziehung zwischen Sinus und Kosinus

Die Winkelfunktionen stehen in engen Beziehungen zueinander. Wenn du dir den Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion gleichzeitig ansiehst, stellst du fest, dass sie sich nicht sehr unterscheiden, dass die eine nur ein wenig gegen die andere verschoben ist.

Wenn wir also zum Argument der Funktion stets π/2 addieren, erhalten wir die Kosinusfunktion:

Und umgekehrt, wenn wir beim Kosinus π/2 subtrahieren, erhalten wir den Sinus.

So können wir diese Formeln aufschreiben:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Wie du Tangens und Kotangens ausdrückst

Die Tangensfunktion können wir leicht durch Sinus und Kosinus ausdrücken. Man muss sich nur klarmachen, was der Tangens ist: das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Ankathete. Wir nehmen dieses Dreieck zu Hilfe:

Wie groß ist der Tangens des Winkels beta?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Wie könnten wir den Zähler oder den Nenner ausdrücken? Wie groß sind die Länge der Seite b und die Länge der Seite c? Wir wissen, dass der Sinus des Winkels beta gleich

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

ist. Aus dieser Formel lösen wir nach |b| auf:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Der Kosinus des Winkels beta ist gleich

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Wir lösen nach |c| auf:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Jetzt haben wir die Längen der Seiten b und c durch die Funktionen Sinus und Kosinus ausgedrückt. Diese Zwischenergebnisse setzen wir in die ursprüngliche Gleichung mit dem Tangens ein:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Im Zähler und im Nenner können wir |a| kürzen und erhalten die endgültige Formel:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Den Tangens können wir also als Quotienten aus Sinus und Kosinus schreiben. Ohne Herleitung sagen wir noch, dass wir den Kotangens als den umgekehrten Bruch schreiben können, also Kosinus durch Sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

So wie sich die Funktionen Sinus und Kosinus ähneln, ähneln sich auch die Funktionen Tangens und Kotangens. Sieh dir beide Graphen in einem Bild an:

Wie machen wir aus der Kurve, die den Tangens beschreibt, die Kurve, die den Kotangens beschreibt? Der Kotangens ist um π/2 verschoben, damit fangen wir an:

Wir sind dem Kotangens schon näher gekommen, aber die Kurven verlaufen noch in die falsche Richtung: Der Kotangens ist in den ausgewählten Intervallen streng monoton fallend, während diese verschobene Kurve streng monoton steigend ist. Dem helfen wir ab, indem wir das Vorzeichen der Variablen x ändern:

So können wir schreiben:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Tabellenwerte

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens haben für einige schöne Winkel schöne Werte. Hier ist die grundlegende Übersicht:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$