Egenskaper hos sinus, cosinus, tangens och cotangens

Sinus och cosinus är grundläggande trigonometriska funktioner.

Sinus

Sinus för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den motstående kateten och längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{längden av motstående katet}}{\text{längden av hypotenusan}}$$

Grafen till funktionen sinus är en kurva som kallas sinuskurva. Grafen ser du på nästa bild:

Sinus är en periodisk funktion med den minsta perioden 2π. Övriga egenskaper:

• Definitionsmängden är mängden av alla reella tal.
• Värdemängden är intervallet [−1, 1].
• Sinus har maximum i oändligt många punkter. Närmare bestämt har den sitt ”första” maximum i punkten $x=\frac{\pi }{2}$, och eftersom funktionen är periodisk har den maximum också i varje punkt $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, där k är ett heltal. Maxvärdet är 1.
• På motsvarande sätt för minimum: sinus har minimum i punkterna $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, där k är ett heltal, och minvärdet är −1.
• Sinus är en udda och begränsad funktion.

Cosinus

Cosinus för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den närliggande kateten och längden av hypotenusan i en rätvinklig triangel. Om vi alltså beräknar cosinus för vinkeln alfa på miniräknaren får vi värdet på kvoten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{längden av närliggande katet}}{\text{längden av hypotenusan}}.$$

Grafen till funktionen cosinus är en kurva som kallas cosinuskurva. Grafen ser du på nästa bild:

Cosinus är en periodisk funktion med den minsta perioden 2π. Övriga egenskaper:

• Definitionsmängden är mängden av alla reella tal.
• Värdemängden är intervallet [−1, 1].
• Cosinus har maximum i oändligt många punkter. Närmare bestämt har den sitt ”första” maximum i punkten x = 0, och eftersom funktionen är periodisk har den maximum också i varje punkt 2kπ, där k är ett heltal. Maxvärdet är 1.
• På motsvarande sätt för minimum: cosinus har minimum i punkterna π + 2kπ, där k är ett heltal, och minvärdet är −1.
• Cosinus är en jämn och begränsad funktion.

Tangens

Tangens för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den motstående kateten och längden av den närliggande kateten i en rätvinklig triangel. Tangens skrivs tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{längden av motstående katet}}{\text{längden av närliggande katet}}$$

Grafen till den här funktionen är en kurva som kallas tangenskurva:

Tangens skiljer sig från de tidigare funktionerna framför allt i perioden, som inte längre är 2π utan bara π. Övriga egenskaper:

• Definitionsmängden är mängden

$$D_{\tan }=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Värdemängden är mängden av alla reella tal.
• Tangens har varken maximum eller minimum och är inte begränsad.
• Tangens är en udda funktion.

Cotangens

Cotangens för vinkeln alfa är lika med kvoten mellan längden av den närliggande kateten och längden av den motstående kateten. Cotangens skrivs cot (ibland cotan).

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{längden av närliggande katet}}{\text{längden av motstående katet}}$$

Grafen till den här funktionen är en kurva som kallas cotangenskurva:

Övriga egenskaper:

• Perioden är också π, precis som för tangens.
• Definitionsmängden är mängden

$$D_{\cot }=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Värdemängden är mängden av alla reella tal.
• Cotangens har varken maximum eller minimum och är inte begränsad.
• Cotangens är en udda funktion.

Sambandet mellan sinus och cosinus

De trigonometriska funktionerna har nära samband med varandra. Om du tittar på graferna till sinus och cosinus samtidigt ser du att de inte skiljer sig så mycket åt, utan att den ena bara är lite förskjuten jämfört med den andra.

Om vi alltså alltid lägger π/2 till funktionens argument får vi funktionen cosinus:

Och omvänt, om vi för cosinus subtraherar π/2 får vi sinus.

Vi kan alltså skriva de här formlerna:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Hur man uttrycker tangens och cotangens

Funktionen tangens kan vi lätt uttrycka med hjälp av sinus och cosinus. Det räcker att komma ihåg vad tangens är: förhållandet mellan längden av den motstående kateten och längden av den närliggande kateten. Vi tar den här triangeln till hjälp:

Vad är tangens för vinkeln beta lika med?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Hur kan vi uttrycka täljaren eller nämnaren? Vad är längden av sidan b och längden av sidan c lika med? Vi vet att sinus för vinkeln beta är lika med:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Ur den formeln löser vi ut |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Cosinus för vinkeln beta är lika med:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Vi löser ut |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Nu har vi längderna av sidorna b och c uttryckta med hjälp av funktionerna sinus och cosinus. Vi sätter in de här mellanresultaten i den ursprungliga ekvationen för tangens:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

I täljaren och nämnaren kan vi förkorta bort |a|, och då får vi den slutliga formeln:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Tangens kan vi alltså skriva som kvoten av sinus och cosinus. Utan härledning säger vi också att cotangens kan skrivas som det omvända bråket, det vill säga cosinus delat med sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Sambandet mellan tangens och cotangens

På samma sätt som funktionerna sinus och cosinus liknar varandra liknar också funktionerna tangens och cotangens varandra. Titta på båda graferna i samma bild:

Hur gör vi om kurvan som beskriver tangens till kurvan som beskriver cotangens? Cotangens är förskjuten med π/2, och med det börjar vi:

Nu har vi kommit närmare cotangens, men kurvorna lutar fortfarande åt fel håll: cotangens är strängt avtagande i de valda intervallen, medan den förskjutna kurvan är strängt växande. Det rättar vi till genom att byta tecken på variabeln x:

Vi kan alltså skriva:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Exakta värden

Sinus, cosinus, tangens och cotangens har fina värden för vissa fina vinklar. Här är en grundläggande översikt:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$