Egenskaper ved sinus, cosinus, tangens og cotangens

Sinus og cosinus er grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Sinus

Sinus til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av motstående katet og lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{lengden av motstående katet}}{\text{lengden av hypotenusen}}$$

Grafen til funksjonen sinus er en kurve som kalles sinuskurven. Du kan se grafen på følgende figur:

Sinus er en periodisk funksjon med minste periode 2π. Andre egenskaper:

• Definisjonsmengden er mengden av alle reelle tall.
• Verdimengden er intervallet [−1, 1].
• Sinus har maksimum i uendelig mange punkter. Nærmere bestemt har den det «første» maksimumet i punktet $x=\frac{\pi }{2}$, og siden den er en periodisk funksjon, har den maksimum også i hvert punkt $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, der k er et helt tall. Verdien av maksimumet er da 1.
• På samme måte for minimum: sinus har minimum i punktene $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, der k er et helt tall, og verdien er −1.
• Sinus er en odde og begrenset funksjon.

Cosinus

Cosinus til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av hosliggende katet og lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant. Hvis vi altså regner ut cosinus til vinkelen alfa på kalkulatoren, får vi verdien av kvotienten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lengden av hosliggende katet}}{\text{lengden av hypotenusen}}.$$

Grafen til funksjonen cosinus er en kurve som kalles cosinuskurven. Du kan se grafen på følgende figur:

Cosinus er en periodisk funksjon med minste periode 2π. Andre egenskaper:

• Definisjonsmengden er mengden av alle reelle tall.
• Verdimengden er intervallet [−1, 1].
• Cosinus har maksimum i uendelig mange punkter. Nærmere bestemt har den det «første» maksimumet i punktet x = 0, og siden den er en periodisk funksjon, har den maksimum også i hvert punkt 2kπ, der k er et helt tall. Verdien av maksimumet er da 1.
• På samme måte for minimum: cosinus har minimum i punktene π + 2kπ, der k er et helt tall, og verdien er −1.
• Cosinus er en like og begrenset funksjon.

Tangens

Tangens til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av motstående katet og lengden av hosliggende katet i en rettvinklet trekant. Tangens skriver vi tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{lengden av motstående katet}}{\text{lengden av hosliggende katet}}$$

Grafen til denne funksjonen er en kurve som kalles tangenskurven:

Tangens skiller seg fra de foregående funksjonene først og fremst i perioden, som ikke lenger er 2π, men bare π. Andre egenskaper:

• Definisjonsmengden er mengden

$$D_{\tan }=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Verdimengden er mengden av alle reelle tall.
• Tangens har verken maksimum eller minimum og er ikke begrenset.
• Tangens er en odde funksjon.

Cotangens

Cotangens til vinkelen alfa er lik forholdet mellom lengden av hosliggende katet og lengden av motstående katet. Cotangens skriver vi cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{lengden av hosliggende katet}}{\text{lengden av motstående katet}}$$

Grafen til denne funksjonen er en kurve som kalles cotangenskurven:

Andre egenskaper:

• Perioden er også π, som for tangens.
• Definisjonsmengden er mengden

$$D_{\cot }=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Verdimengden er mengden av alle reelle tall.
• Cotangens har verken maksimum eller minimum og er ikke begrenset.
• Cotangens er en odde funksjon.

Sammenhengen mellom sinus og cosinus

De trigonometriske funksjonene har nære sammenhenger seg imellom. Når du ser på grafen til funksjonene sinus og cosinus samtidig, ser du at de ikke skiller seg så mye fra hverandre, at den ene bare er litt forskjøvet i forhold til den andre.

Hvis vi altså alltid legger π/2 til argumentet til funksjonen, får vi funksjonen cosinus:

Og omvendt, hvis vi trekker π/2 fra argumentet til cosinus, får vi sinus.

Vi kan dermed skrive disse formlene:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Hvordan du uttrykker tangens og cotangens

Funksjonen tangens kan vi lett uttrykke ved hjelp av sinus og cosinus. Det holder å huske hva tangens er: forholdet mellom lengden av motstående katet og lengden av hosliggende katet. Vi bruker denne trekanten som hjelp:

Hva er tangens til vinkelen beta lik?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Hvordan kan vi uttrykke telleren eller nevneren? Hva er lengden av siden b og lengden av siden c lik? Vi vet at sinus til vinkelen beta er lik:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Fra denne formelen isolerer vi |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Cosinus til vinkelen beta er lik:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Vi isolerer |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Nå har vi lengdene av sidene b og c uttrykt ved hjelp av funksjonene sinus og cosinus. Vi setter disse mellomresultatene inn i den opprinnelige likningen med tangens:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Fra telleren og nevneren kan vi forkorte bort |a|, og vi får den endelige formelen:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Tangens kan vi altså skrive som kvotienten av sinus og cosinus. Uten utledning sier vi at cotangens kan skrives som den omvendte brøken, altså cosinus over sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Sammenhengen mellom tangens og cotangens

På samme måte som funksjonene sinus og cosinus ligner på hverandre, ligner også funksjonene tangens og cotangens på hverandre. Se på begge grafene i én figur:

Hvordan gjør vi om kurven som beskriver tangens, til kurven som beskriver cotangens? Cotangens er forskjøvet med π/2, så det begynner vi med:

Nå har vi kommet nærmere cotangens, men kurvene vender fortsatt feil vei. Cotangens er strengt avtagende på de valgte intervallene, mens denne forskjøvede kurven er strengt voksende. Det hjelper vi på ved å bytte fortegn på variabelen x:

Vi kan dermed skrive:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Eksakte verdier

Sinus, cosinus, tangens og cotangens har pene verdier for noen pene vinkler. Her er en grunnleggende oversikt:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$