Egenskaber ved sinus, cosinus, tangens og cotangens

Sinus og cosinus er grundlæggende trigonometriske funktioner.

Sinus

Sinus til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af hypotenusen i en retvinklet trekant.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Længden af den modstående katete}}{\text{Længden af hypotenusen}}$$

Grafen for sinusfunktionen er en kurve, der kaldes en sinuskurve. Grafen kan du se på følgende figur:

Sinus er en periodisk funktion med den mindste periode 2π. Yderligere egenskaber:

• Definitionsmængden er mængden af alle reelle tal.
• Værdimængden er intervallet [−1; 1].
• Sinus har maksimum i uendeligt mange punkter. Mere præcist har den sit »første« maksimum i punktet $x=\frac{\pi }{2}$, og fordi den er en periodisk funktion, har den også maksimum i ethvert punkt $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, hvor k er et helt tal. Maksimumsværdien er så 1.
• Tilsvarende gælder for minimum: sinus har minimum i punkterne $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, hvor k er et helt tal, og dens værdi er −1.
• Sinus er en ulige og begrænset funktion.

Cosinus

Cosinus til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den hosliggende katete og længden af hypotenusen i en retvinklet trekant. Hvis vi altså på lommeregneren beregner cosinus til vinklen alfa, får vi værdien af kvotienten

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{længden af den hosliggende katete}}{\text{længden af hypotenusen}}.$$

Grafen for cosinusfunktionen er en kurve, der kaldes en cosinuskurve. Grafen kan du se på følgende figur:

Cosinus er en periodisk funktion med den mindste periode 2π. Yderligere egenskaber:

• Definitionsmængden er mængden af alle reelle tal.
• Værdimængden er intervallet [−1; 1].
• Cosinus har maksimum i uendeligt mange punkter. Mere præcist har den sit »første« maksimum i punktet x = 0, og fordi den er en periodisk funktion, har den også maksimum i ethvert punkt 2kπ, hvor k er et helt tal. Maksimumsværdien er så 1.
• Tilsvarende gælder for minimum: cosinus har minimum i punkterne π + 2kπ, hvor k er et helt tal, og dens værdi er −1.
• Cosinus er en lige og begrænset funktion.

Tangens

Tangens til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af den hosliggende katete i en retvinklet trekant. Tangens skriver vi normalt som tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Længden af den modstående katete}}{\text{Længden af den hosliggende katete}}$$

Grafen for denne funktion er en kurve, der kaldes en tangenskurve:

Tangens adskiller sig fra de foregående funktioner især ved perioden, som ikke længere er 2π, men kun π. Yderligere egenskaber:

• Definitionsmængden er mængden

$$\mathrm{Dm}(\tan )=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Værdimængden er mængden af alle reelle tal.
• Tangens har hverken maksimum eller minimum og er ikke begrænset.
• Tangens er en ulige funktion.

Cotangens

Cotangens til vinklen alfa er lig med forholdet mellem længden af den hosliggende katete og længden af den modstående katete. Cotangens skriver vi normalt som cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Længden af den hosliggende katete}}{\text{Længden af den modstående katete}}$$

Grafen for denne funktion er en kurve, der kaldes en cotangenskurve:

Yderligere egenskaber:

• Perioden er også π, ligesom for tangens.
• Definitionsmængden er mængden

$$\mathrm{Dm}(\cot )=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Værdimængden er mængden af alle reelle tal.
• Cotangens har hverken maksimum eller minimum og er ikke begrænset.
• Cotangens er en ulige funktion.

Sammenhængen mellem sinus og cosinus

De trigonometriske funktioner hænger tæt sammen. Hvis du ser på grafen for sinus og cosinus samtidig, opdager du, at de ikke er særlig forskellige, og at den ene bare er lidt forskudt i forhold til den anden.

Hvis vi altså altid lægger π/2 til funktionens argument, får vi cosinusfunktionen:

Og omvendt: hvis vi trækker π/2 fra argumentet for cosinus, får vi sinus.

Vi kan derfor skrive disse formler:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Sådan udtrykker du tangens og cotangens

Tangensfunktionen kan vi let udtrykke ved hjælp af sinus og cosinus. Vi skal bare huske, hvad tangens er: forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af den hosliggende katete. Vi tager denne trekant til hjælp:

Hvad er tangens til vinklen beta lig med?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Hvordan kan vi udtrykke tælleren og nævneren? Hvad er længden af siden b og længden af siden c lig med? Vi ved, at sinus til vinklen beta er lig med:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Af den formel isolerer vi |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Cosinus til vinklen beta er lig med:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Vi isolerer |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Nu har vi udtrykt længderne af siderne b og c ved hjælp af sinus og cosinus. Vi indsætter derfor disse delresultater i den oprindelige ligning for tangens:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

I tælleren og nævneren kan vi forkorte |a| væk, og vi får den endelige formel:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Tangens kan vi altså skrive som kvotienten mellem sinus og cosinus. Uden udledning nøjes vi med at sige, at cotangens kan skrives som den omvendte brøk, altså cosinus divideret med sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Sammenhængen mellem tangens og cotangens

Ligesom sinus og cosinus ligner hinanden, ligner tangens og cotangens også hinanden. Se begge grafer på én figur:

Hvordan gør vi kurven, der beskriver tangens, til kurven, der beskriver cotangens? Cotangens er forskudt med π/2, og det begynder vi med:

Nu er vi kommet tættere på cotangens, men kurverne vender stadig forkert: cotangens er i de valgte intervaller strengt aftagende, mens den forskudte kurve er strengt voksende. Det retter vi ved at ændre fortegn på variablen x:

Vi kan derfor skrive:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Eksakte værdier

Sinus, cosinus, tangens og cotangens har for nogle pæne vinkler pæne værdier. Her er en oversigt over de vigtigste:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$