Proprietățile funcțiilor sinus, cosinus, tangentă și cotangentă

Sinusul și cosinusul sunt funcții trigonometrice de bază.

Sinus

Sinusul unghiului alfa este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Lungimea catetei opuse}}{\text{Lungimea ipotenuzei}}$$

Graficul funcției sinus este o curbă numită sinusoidă. Graficul poate fi văzut în figura următoare:

Sinusul este o funcție periodică, cu cea mai mică perioadă 2π. Alte proprietăți:

• Domeniul de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale: D_f = ℝ.
• Imaginea funcției este intervalul Im f = [−1, 1].
• Sinusul are maxim într-o infinitate de puncte. Mai exact, „primul” maxim îl are în punctul $x=\frac{\pi }{2}$ și, fiind o funcție periodică, are maxim și în fiecare punct $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, unde k este un număr întreg. Valoarea maximului este atunci 1.
• La fel pentru minim: sinusul are minim în punctele $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, unde k este un număr întreg, iar valoarea lui este −1.
• Sinusul este o funcție impară și mărginită.

Cosinus

Cosinusul unghiului alfa este egal cu raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic. Așadar, dacă calculăm cu calculatorul cosinusul unghiului alfa, obținem valoarea câtului

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lungimea catetei alăturate}}{\text{lungimea ipotenuzei}}.$$

Graficul funcției cosinus este o curbă numită cosinusoidă. Graficul poate fi văzut în figura următoare:

Cosinusul este o funcție periodică, cu cea mai mică perioadă 2π. Alte proprietăți:

• Domeniul de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale: D_f = ℝ.
• Imaginea funcției este intervalul Im f = [−1, 1].
• Cosinusul are maxim într-o infinitate de puncte. Mai exact, „primul” maxim îl are în punctul x = 0 și, fiind o funcție periodică, are maxim și în fiecare punct 2kπ, unde k este un număr întreg. Valoarea maximului este atunci 1.
• La fel pentru minim: cosinusul are minim în punctele π + 2kπ, unde k este un număr întreg, iar valoarea lui este −1.
• Cosinusul este o funcție pară și mărginită.

Tangentă

Tangenta unghiului alfa este egală cu raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate într-un triunghi dreptunghic. Tangenta se notează tg.

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{Lungimea catetei opuse}}{\text{Lungimea catetei alăturate}}$$

Graficul acestei funcții este o curbă numită tangentoidă:

Tangenta se deosebește de funcțiile precedente mai ales prin perioadă, care nu mai este 2π, ci doar π. Alte proprietăți:

• Domeniul de definiție este mulțimea

$$D_{\mathrm{tg}}=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \},k\in \mathbb{Z}$$

• Imaginea funcției este mulțimea tuturor numerelor reale: Im f = ℝ.
• Tangenta nu are nici maxim, nici minim și nu este mărginită.
• Tangenta este o funcție impară.

Cotangentă

Cotangenta unghiului alfa este egală cu raportul dintre lungimea catetei alăturate și lungimea catetei opuse. Cotangenta se notează ctg.

$$\mathrm{ctg}(\alpha )=\frac{\text{Lungimea catetei alăturate}}{\text{Lungimea catetei opuse}}$$

Graficul acestei funcții este o curbă numită cotangentoidă:

Alte proprietăți:

• Perioada este tot π, ca la tangentă.
• Domeniul de definiție este mulțimea

$$D_{\mathrm{ctg}}=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Imaginea funcției este mulțimea tuturor numerelor reale: Im f = ℝ.
• Cotangenta nu are nici maxim, nici minim și nu este mărginită.
• Cotangenta este o funcție impară.

Legătura dintre sinus și cosinus

Funcțiile trigonometrice au între ele legături strânse. Dacă te uiți simultan la graficul funcției sinus și al funcției cosinus, vei observa că nu diferă prea mult, că una este doar puțin deplasată față de cealaltă.

Așadar, dacă adunăm mereu π/2 la argumentul funcției, obținem funcția cosinus:

Iar invers, dacă la cosinus scădem π/2, obținem sinusul.

Putem scrie deci aceste formule:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Cum exprimăm tangenta și cotangenta

Funcția tangentă o putem exprima ușor cu ajutorul sinusului și al cosinusului. Este suficient să ne amintim ce este tangenta: raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea catetei alăturate. Ne ajutăm de acest triunghi:

Cu ce este egală tangenta unghiului beta?

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Cum am putea exprima numărătorul sau numitorul? Cu ce sunt egale lungimea laturii b și lungimea laturii c? Știm că sinusul unghiului beta este egal cu:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Din această formulă izolăm |b|:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Cosinusul unghiului beta este egal cu:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Izolăm |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Acum avem lungimile laturilor b și c exprimate cu ajutorul funcțiilor sinus și cosinus. Înlocuim aceste rezultate intermediare în ecuația inițială cu tangenta:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

La numărător și la numitor putem simplifica prin |a| și obținem formula finală:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}$$

Tangenta se poate scrie deci ca raportul dintre sinus și cosinus. Fără demonstrație, spunem că cotangenta se poate scrie ca fracția inversată, adică cosinus supra sinus.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \mathrm{ctg}(\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Legătura dintre tangentă și cotangentă

Așa cum funcțiile sinus și cosinus sunt asemănătoare, sunt asemănătoare și funcțiile tangentă și cotangentă. Privește ambele grafice într-o singură figură:

Cum facem dintr-o curbă care descrie tangenta o curbă care descrie cotangenta? Cotangenta este deplasată cu π/2, cu asta începem:

Ne-am apropiat deja de cotangentă, dar curbele sunt încă în sens greșit: cotangenta este strict descrescătoare pe intervalele alese, în timp ce această curbă deplasată este strict crescătoare. Remediem asta schimbând semnul variabilei x:

Putem scrie deci:

$$\mathrm{ctg}(x)=\mathrm{tg}(-x+\frac{\pi }{2})$$

Valori din tabel

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta au pentru unele unghiuri „frumoase” valori frumoase. Iată o prezentare de bază:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{ctg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$