Propiedades del seno, el coseno, la tangente y la cotangente

El seno y el coseno son las funciones trigonométricas básicas.

Seno

El seno del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto opuesto}}{\text{longitud de la hipotenusa}}$$

La gráfica de la función seno es una curva llamada sinusoide. Puedes verla en la siguiente figura:

El seno es una función periódica cuyo periodo mínimo es 2π. Otras propiedades:

• El dominio es el conjunto de todos los números reales.
• El recorrido es el intervalo [−1, 1].
• El seno alcanza el máximo en infinitos puntos. Más exactamente, el «primer» máximo lo alcanza en el punto $x=\frac{\pi }{2}$ y, como es una función periódica, alcanza el máximo también en cada punto $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, donde k es un número entero. El valor del máximo es 1.
• De forma parecida para el mínimo: el seno alcanza el mínimo en los puntos $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, donde k es un número entero, y su valor es −1.
• El seno es una función impar y acotada.

Coseno

El coseno del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto contiguo y la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Así que si calculamos con la calculadora el coseno del ángulo alfa, obtenemos el valor del cociente

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto contiguo}}{\text{longitud de la hipotenusa}}.$$

La gráfica de la función coseno es también una sinusoide. Puedes verla en la siguiente figura:

El coseno es una función periódica cuyo periodo mínimo es 2π. Otras propiedades:

• El dominio es el conjunto de todos los números reales.
• El recorrido es el intervalo [−1, 1].
• El coseno alcanza el máximo en infinitos puntos. Más exactamente, el «primer» máximo lo alcanza en el punto x = 0 y, como es una función periódica, alcanza el máximo también en cada punto 2kπ, donde k es un número entero. El valor del máximo es 1.
• De forma parecida para el mínimo: el coseno alcanza el mínimo en los puntos π + 2kπ, donde k es un número entero, y su valor es −1.
• El coseno es una función par y acotada.

Tangente

La tangente del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto contiguo en un triángulo rectángulo. La tangente se suele denotar tg o tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto opuesto}}{\text{longitud del cateto contiguo}}$$

La gráfica de la tangente es esta curva:

La tangente se diferencia de las funciones anteriores sobre todo en el periodo, que ya no es 2π, sino solo π. Otras propiedades:

• El dominio es el conjunto

$$\mathrm{Dom}(\tan )=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• El recorrido es el conjunto de todos los números reales.
• La tangente no tiene máximo ni mínimo y no está acotada.
• La tangente es una función impar.

Cotangente

La cotangente del ángulo alfa es igual a la razón entre la longitud del cateto contiguo y la longitud del cateto opuesto. La cotangente se suele denotar cotg o cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto contiguo}}{\text{longitud del cateto opuesto}}$$

La gráfica de la cotangente es esta curva:

Otras propiedades:

• El periodo es también π, como en la tangente.
• El dominio es el conjunto

$$\mathrm{Dom}(\cot )=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• El recorrido es el conjunto de todos los números reales.
• La cotangente no tiene máximo ni mínimo y no está acotada.
• La cotangente es una función impar.

Relación entre el seno y el coseno

Las funciones trigonométricas guardan entre sí relaciones estrechas. Si miras a la vez las gráficas de las funciones seno y coseno, verás que no se diferencian mucho, que una está solo un poco desplazada respecto de la otra.

Así que si al argumento de la función le sumamos siempre π/2, obtenemos la función coseno:

Y al revés, si al coseno le restamos π/2, obtenemos el seno.

Podemos escribir, por tanto, estas fórmulas:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(x)& =& \cos (x-\frac{\pi }{2})\\ \cos (x)& =& \mathrm{sen}(x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Cómo expresar la tangente y la cotangente

La función tangente podemos expresarla fácilmente mediante el seno y el coseno. Basta recordar qué es la tangente: la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto contiguo. Nos ayudaremos de este triángulo:

¿A qué es igual la tangente del ángulo beta?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

¿Cómo podríamos expresar el numerador o el denominador? ¿A qué son iguales la longitud del lado b y la del lado c? Sabemos que el seno del ángulo beta es igual a:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

De esa fórmula despejamos |b|:

$$|b|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|$$

El coseno del ángulo beta es igual a:

$$\cos (\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Despejamos |c|:

$$|c|=\cos (\beta )\cdot |a|$$

Ahora tenemos las longitudes de los lados b y c expresadas mediante las funciones seno y coseno. Sustituimos estos resultados intermedios en la ecuación original con la tangente:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|}{\cos (\beta )\cdot |a|}$$

Del numerador y del denominador podemos simplificar |a| y obtenemos la fórmula final:

$$\tan (\beta )=\frac{\mathrm{sen}(\beta )}{\cos (\beta )}$$

La tangente podemos escribirla, pues, como el cociente entre el seno y el coseno. Sin demostrarlo, diremos también que la cotangente podemos escribirla como la fracción inversa, es decir, el cociente coseno entre seno.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\mathrm{sen}(\alpha )}{\cos (\alpha )}\\ \cot (\alpha )& =& \frac{\cos (\alpha )}{\mathrm{sen}(\alpha )}\end{array}$$

Relación entre la tangente y la cotangente

Igual que se parecen las funciones seno y coseno, se parecen también las funciones tangente y cotangente. Observa las dos gráficas en una misma figura:

¿De qué manera convertimos la curva que describe la tangente en la curva que describe la cotangente? La cotangente está desplazada π/2, así que empezamos por eso:

Ya nos hemos acercado a la cotangente, pero las curvas todavía van en sentido contrario: la cotangente es decreciente en los intervalos elegidos, mientras que esta curva desplazada es creciente. Lo arreglamos cambiando el signo de la variable x:

Podemos escribir:

$$\cot (x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Ángulos notables

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente tienen valores bonitos para algunos ángulos bonitos, los llamados ángulos notables. Aquí tienes su resumen básico:

$$\begin{array}{ccccc}& \mathrm{sen}& \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$