文字係数の2次方程式

文字係数の2次方程式がふつうの2次方程式と違うのは、定数（パラメータ）を含むことです。この定数はよく p や m で表します。目標は、2次方程式の解が定数 p の値によってどう変わるかを調べることです。

例1

定数 p を含む次の2次方程式を考えます。

$$x^2+2px+9=0.$$

定数 p の値によって、方程式の解はどう変わるでしょうか。場合は全部で3つあります。実数の範囲で解をもたない場合、重解をもつ場合、異なる2つの実数解をもつ場合です。これらは判別式で見分けます。

定数は決まった数と同じように扱います。つまり、この2次方程式では a = 1、b = 2p、c = 9 です。いつもどおり判別式を計算しましょう。

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

判別式は D = 4p² − 36 になりました。次に、この判別式が正になるとき、負になるとき、0になるときを調べます。

いちばん簡単な、判別式が0になる場合から始めましょう。つまり、方程式 4p² − 36 = 0 を解きます。これが成り立つのはどんな p のときでしょうか。これは1次の項のない2次方程式で、簡単に解けます。

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

定数 p がプラス3かマイナス3のとき、2次方程式は重解をもちます。

次に、判別式が正になる場合を調べます。つまり、2次不等式を解きます。

$$4p^2-36>0.$$

関数 f(p) = 4p² − 36 の値が0になる点は、前の段階ですでに求めました。これらの点を使って、「内側」と「外側」の2つの範囲をつくります。

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

一方の範囲では関数 f(p) は正、もう一方では負になります。どちらかを調べるには、一方の範囲の点を関数に代入します。いちばん簡単なのは、I₂ から0を代入することです。f(0) = 0 − 36 = −36 なので、範囲 I₂ では関数は負、範囲 I₁ では正です。

したがって、p が I₁ にあるとき方程式は異なる2つの実数解をもち、I₂ にあるとき実数解をもちません。関数 f(p) = 4p² − 36 のグラフを見てみましょう。プラス3とマイナス3で0になり、範囲 I₂ では負、範囲 I₁ では正です。

方程式の解を求める

残るのは、方程式が解をもつ場合に、その解を求めることです。まず、方程式が重解をもつ場合、つまり判別式が0の場合から始めます。これは、定数 p がプラス3かマイナス3（9の平方根）のときです。

1つ目は p = 3 の場合です。方程式は次の形になります。

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

この方程式の判別式を計算します。0になるはずです。

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

公式で解を求めます。

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

2つ目は p = −3 の場合です。方程式は次の形になります。

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

判別式を計算します。

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

解を求めます。

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

最後に、定数が (−∞, −3) ∪ (3, ∞) にあるときの方程式の解を求めます。判別式はすでに計算してあるので、公式で解を求めます。

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

最後に分数を2で約分しました。これが、定数が (−∞, −3) ∪ (3, ∞) にあるときの2次方程式の解です。定数が (−3, 3) にあるとき、方程式は実数解をもちません。