Quadratische Gleichung mit Parameter

Eine quadratische Gleichung mit Parameter unterscheidet sich von einer gewöhnlichen quadratischen Gleichung dadurch, dass sie zusätzlich einen Parameter enthält, oft mit p oder m bezeichnet. Unsere Aufgabe ist es dann herauszufinden, welche Lösungen die quadratische Gleichung in Abhängigkeit von diesem Parameter p hat.

Erstes Beispiel

Wir haben die folgende quadratische Gleichung mit dem Parameter p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Welche verschiedenen Lösungen hat die Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter p? Wir können insgesamt drei Fälle unterscheiden – die Gleichung hat keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen, die Gleichung hat zwei gleiche Lösungen und die Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen. Diese Fälle unterscheiden wir mithilfe der Diskriminante.

Der Parameter verhält sich wie eine Konstante, d. h. für die vorige quadratische Gleichung gilt a = 1, b = 2p und c = 9. Jetzt berechnen wir die Diskriminante, wie wir es gewohnt sind:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Die Diskriminante ist also D = 4p² − 36. Jetzt müssen wir herausfinden, wann diese Diskriminante positiv, negativ und null ist.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, wenn die Diskriminante null ist. Wir lösen also die Gleichung 4p² − 36 = 0. Für welche p gilt das? Das ist eine reinquadratische Gleichung und sie lässt sich leicht lösen:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Ist der Parameter p gleich plus oder minus drei, hat die quadratische Gleichung eine doppelte Lösung.

Jetzt untersuchen wir, wann die Diskriminante positiv ist. Wir lösen also die quadratische Ungleichung

$$4p^2-36>0.$$

Die Nullstellen der Funktion f(p) = 4p² − 36 kennen wir schon, wir haben sie im vorigen Schritt berechnet. Aus ihnen bilden wir zwei Intervalle, ein „inneres“ und ein „äußeres“.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty };-3[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3;3[\end{array}$$

In einem dieser Intervalle ist die Funktion f(p) positiv, im anderen negativ. Das finden wir heraus, indem wir in die Funktion einen Punkt aus einem der Intervalle einsetzen. Am einfachsten ist es, aus dem Intervall I₂ die Null einzusetzen. Es gilt f(0) = 0 − 36 = −36. Im Intervall I₂ ist die Funktion also negativ, im Intervall I₁ ist sie positiv.

Daraus folgt, dass die Gleichung im Intervall I₁ zwei verschiedene Lösungen hat und im Intervall I₂ keine reelle Lösung. Du kannst dir den Graphen der Funktion f(p) = 4p² − 36 ansehen. In den Punkten plus und minus drei ist sie null, im Intervall I₂ ist sie negativ und im Intervall I₁ ist sie positiv.

Berechnung der Lösungen der Gleichung

Jetzt müssen wir noch die Lösungen der Gleichung in den Fällen berechnen, in denen die Gleichung Lösungen hat. Wir beginnen mit dem Fall, in dem die Gleichung eine doppelte Lösung hat, also wenn die Diskriminante null ist. Das ist der Fall, wenn der Parameter gleich plus oder minus der Wurzel aus neun ist.

Erster Fall, p = 3. Die Gleichung hat dann die Form:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Wir berechnen die Diskriminante dieser Gleichung. Es sollte null herauskommen:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Wir berechnen die Lösung mit der Formel:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Zweiter Fall, p = −3. Die Gleichung hat die Form:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Wir berechnen die Diskriminante:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Wir berechnen die Lösung:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Im letzten Schritt berechnen wir nur noch, welche Lösungen die Gleichung hat, wenn der Parameter aus der Menge ]−∞; −3[ ∪ ]3; +∞[ ist. Die Diskriminante haben wir berechnet, also berechnen wir die Lösungen der Gleichung mit der Formel.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Am Ende haben wir den Bruch durch zwei gekürzt. Das sind also die Lösungen der quadratischen Gleichung, wenn der Parameter aus dem Intervall ]−∞; −3[ ∪ ]3; +∞[ ist. Ist der Parameter aus dem Intervall ]−3; 3[, hat die Gleichung keine reelle Lösung.