Andragradsekvation med parameter

En andragradsekvation med parameter skiljer sig från en vanlig andragradsekvation genom att den dessutom innehåller en parameter, ofta kallad p eller m. Vår uppgift är då att ta reda på vilka lösningar andragradsekvationen har beroende på parametern p.

Första exemplet

Vi har följande andragradsekvation med parametern p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Vilka olika lösningar har ekvationen beroende på parametern p? Vi kan skilja på tre fall — ekvationen saknar lösningar över de reella talen, ekvationen har två lika lösningar och ekvationen har två olika lösningar. De här fallen skiljer vi åt med hjälp av diskriminanten.

Parametern beter sig som en konstant, dvs. för den här andragradsekvationen gäller a = 1, b = 2p och c = 9. Nu beräknar vi diskriminanten som vi är vana vid:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Diskriminanten blev alltså D = 4p² − 36. Nu måste vi ta reda på när diskriminanten är positiv, negativ och noll.

Vi börjar med det enklaste fallet, när diskriminanten är noll. Vi löser alltså ekvationen 4p² − 36 = 0. För vilka p gäller det? Det här är en ren andragradsekvation och den löses lätt:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Om parametern p är lika med plus eller minus 3 har andragradsekvationen en dubbelrot.

Nu tar vi reda på när diskriminanten är positiv. Vi löser alltså andragradsolikheten

$$4p^2-36>0.$$

Vi känner redan till nollställena till funktionen f(p) = 4p² − 36, de beräknade vi i förra steget. Av dem bildar vi två intervall, ett ”inre” och ett ”yttre”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty },-3[\cup ]3,+\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3,3[\end{array}$$

I det ena av intervallen är funktionen f(p) positiv, i det andra negativ. Vi tar reda på det genom att sätta in någon punkt från ett av intervallen i funktionen. Enklast är att sätta in 0 från intervallet I₂. Det gäller att f(0) = 0 − 36 = −36. I intervallet I₂ är funktionen alltså negativ, i intervallet I₁ är den positiv.

Av det får vi att ekvationen har två olika lösningar i intervallet I₁ och inga reella lösningar i intervallet I₂. Du kan titta på grafen till funktionen f(p) = 4p² − 36. I punkterna plus och minus 3 är den noll, i intervallet I₂ är den negativ och i intervallet I₁ är den positiv.

Beräkning av rötterna

Nu återstår att beräkna ekvationens lösningar i de fall då ekvationen har lösningar. Vi börjar med fallet då ekvationen har en dubbelrot, alltså när diskriminanten är lika med noll. Det är när parametern är lika med plus eller minus kvadratroten ur 9.

Första fallet, p = 3. Ekvationen får då formen:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Vi beräknar den här ekvationens diskriminant. Den ska bli noll:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Vi beräknar roten med formeln:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Andra fallet, p = −3. Ekvationen har formen:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Vi beräknar diskriminanten:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Vi beräknar roten:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

I det sista steget återstår bara att beräkna vilka lösningar ekvationen har om parametern tillhör mängden ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[. Diskriminanten har vi redan beräknat, så vi beräknar rötterna med formeln.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

I slutet förkortade vi bråket med 2. Det här är alltså andragradsekvationens rötter när parametern ligger i intervallet ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[. Om parametern ligger i intervallet ]−3, 3[ saknar ekvationen reella lösningar.