複素数の範囲での2次方程式

2次方程式を解いていて判別式が負になったら、その方程式は実数の範囲では解をもちません。しかし、このような方程式も複素数の範囲では必ず解をもちます。

考え方

2次方程式 x² + 2x + 5 = 0 を解いてみましょう。まず判別式を計算すると、D = 4 − 20 = −16 です。すでに見たように、この方程式は実数の範囲では解をもちません。しかし複素数を使えば、負の数の平方根も考えられます。i² = −1 なので、判別式は −16 = 16i² と書きかえられます。この数なら平方根がとれて、4i になります。2次方程式の解を計算しましょう。

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

公式と関係式

前の例から、判別式が負のときの2次方程式の解の公式が導けます。

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

ここから、どんな2次方程式にも解があることがわかります。判別式が0以上なら実数で十分で、判別式が負なら複素数の範囲で解く必要があります。一般に、どんな2次方程式も複素数の範囲では解をもつといえます。

このような複素数の解についても、解と係数の関係が成り立ちます。まず和について導きます。

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

次は積です。判別式は負で、その平方根をとる必要があるので、マイナス D を使って計算します。こうすると正の数になります。そこで |D| の代わりに −D と書きます。結果は同じです。

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

例題

2次方程式 2x² + 6x + 9 = 0 を解きなさい。判別式を計算すると、D = 36 − 72 = −36 です。負の数なので、複素数の解の公式を使い、値を代入するだけです。

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$