Ecuația de gradul al doilea cu parametru

O ecuație de gradul al doilea cu parametru se deosebește de o ecuație de gradul al doilea obișnuită prin faptul că mai conține un parametru, notat adesea cu p sau m. Sarcina noastră este apoi să aflăm ce soluții are ecuația de gradul al doilea în funcție de acest parametru p.

Primul exemplu

Avem următoarea ecuație de gradul al doilea cu parametrul p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Ce soluții diferite are ecuația în funcție de parametrul p? Putem distinge trei cazuri: ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale, ecuația are două soluții egale sau ecuația are două soluții diferite. Aceste cazuri le deosebim cu ajutorul discriminantului.

Parametrul se comportă ca o constantă, adică pentru ecuația de gradul al doilea de mai sus avem a = 1, b = 2p și c = 9. Calculăm acum discriminantul așa cum suntem obișnuiți:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Deci discriminantul ne-a ieșit Δ= 4p² − 36. Acum trebuie să aflăm când acest discriminant este pozitiv, negativ și nul.

Să începem cu cazul cel mai simplu, când discriminantul este nul. Rezolvăm deci ecuația 4p² − 36 = 0. Pentru ce valori ale lui p are loc egalitatea? Aceasta este o ecuație de gradul al doilea fără termen de gradul întâi și se rezolvă ușor:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Dacă parametrul p este egal cu 3 sau cu −3, atunci ecuația de gradul al doilea are o soluție dublă.

Acum rezolvăm când discriminantul este pozitiv. Rezolvăm deci inecuația de gradul al doilea

$$4p^2-36>0.$$

Cunoaștem deja zerourile funcției f(p) = 4p² − 36, le-am calculat la pasul precedent. Din ele alcătuim două intervale, unul „interior” și unul „exterior”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,+\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

Pe unul dintre aceste intervale funcția f(p) este pozitivă, pe celălalt negativă. Aflăm asta înlocuind în funcție un punct dintr-unul dintre intervale. Cel mai simplu este să înlocuim 0 din intervalul I₂. Avem f(0) = 0 − 36 = −36. Pe intervalul I₂ funcția este deci negativă, iar pe intervalul I₁ este pozitivă.

De aici rezultă că pe intervalul I₁ ecuația are două soluții diferite, iar pe intervalul I₂ nu are nicio soluție reală. Poți privi graficul funcției f(p) = 4p² − 36. În punctele 3 și −3 este nulă, pe intervalul I₂ este negativă, iar pe intervalul I₁ este pozitivă.

Calculul soluțiilor ecuației

Acum ne rămâne să calculăm soluțiile ecuației în cazurile în care ecuația are soluții. Începem cu cazul în care ecuația are o soluție dublă, adică atunci când discriminantul este egal cu zero. Asta se întâmplă când parametrul este egal cu plus sau minus radical din nouă.

Cazul întâi, p = 3. Ecuația are atunci forma:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Calculăm discriminantul acestei ecuații. Ar trebui să ne iasă nul:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculăm soluția după formulă:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Cazul al doilea, p = −3. Ecuația are forma:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Calculăm discriminantul:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculăm soluția:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

La ultimul pas calculăm ce soluții are ecuația dacă parametrul aparține mulțimii (−∞,−3) ∪ (3, +∞). Discriminantul îl avem calculat, deci aflăm soluțiile ecuației după formulă.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

La final am simplificat fracția prin 2. Acestea sunt deci soluțiile ecuației de gradul al doilea dacă parametrul aparține mulțimii (−∞,−3) ∪ (3, +∞). Dacă parametrul aparține intervalului (−3, 3), atunci ecuația nu are soluții reale.