Paraméteres másodfokú egyenlet

A paraméteres másodfokú egyenlet abban különbözik a közönséges másodfokú egyenlettől, hogy tartalmaz egy további paramétert, amelyet gyakran p-vel vagy m-mel jelölünk. A feladatunk ekkor az, hogy megállapítsuk, milyen megoldásai vannak a másodfokú egyenletnek ettől a p paramétertől függően.

Első példa

Adott a következő p paraméteres másodfokú egyenlet.

$$x^2+2px+9=0.$$

Milyen különböző megoldásai vannak az egyenletnek a p paramétertől függően? Összesen három esetet különböztethetünk meg – az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán, az egyenletnek két egyenlő megoldása van, és az egyenletnek két különböző megoldása van. Ezeket az eseteket a diszkrimináns segítségével különböztetjük meg.

A paraméter konstansként viselkedik, vagyis az előző másodfokú egyenletre a = 1, b = 2p és c = 9. Most a szokott módon kiszámítjuk a diszkriminánst:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

A diszkrimináns tehát D = 4p² − 36 lett. Most meg kell állapítanunk, mikor pozitív, mikor negatív és mikor nulla ez a diszkrimináns.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor a diszkrimináns nulla. Ekkor tehát a 4p² − 36 = 0 egyenletet kell megoldanunk. Mely p-kre teljesül ez? Ez tiszta másodfokú egyenlet, és könnyen megoldható:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Ha a p paraméter plusz vagy mínusz három, akkor a másodfokú egyenletnek egy kétszeres megoldása van.

Most megoldjuk, mikor pozitív a diszkrimináns. Ehhez a másodfokú egyenlőtlenséget

$$4p^2-36>0$$

kell megoldanunk.

Az f(p) = 4p² − 36 függvény zérushelyeit már ismerjük, az előző lépésben kiszámítottuk őket. Ezekből két intervallumot állítunk össze, egy „belsőt” és egy „külsőt”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty };-3[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3;3[\end{array}$$

Ezek közül az egyik intervallumban az f(p) függvény pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy állapítjuk meg, hogy valamelyik intervallumból behelyettesítünk a függvénybe egy pontot. A legegyszerűbb az I₂ intervallumból a nullát behelyettesíteni. Ekkor f(0) = 0 − 36 = −36. Az I₂ intervallumban tehát a függvény negatív, az I₁ intervallumban pozitív.

Ebből az következik, hogy az I₁ intervallumban az egyenletnek két különböző megoldása van, az I₂ intervallumban pedig nincs valós megoldása. Megnézheted az f(p) = 4p² − 36 függvény grafikonját. A plusz három és a mínusz három pontban nulla, az I₂ intervallumban negatív, az I₁ intervallumban pozitív.

A gyökök kiszámítása

Most már csak azt kell kiszámítanunk, mi az egyenlet megoldása azokban az esetekben, amikor van megoldása. Kezdjük azzal az esettel, amikor az egyenletnek egy kétszeres gyöke van, vagyis amikor a diszkrimináns nulla. Ez akkor áll fenn, ha a paraméter plusz vagy mínusz a kilenc négyzetgyöke.

Első eset, p = 3. Az egyenlet ekkor ilyen alakú:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Kiszámítjuk ennek az egyenletnek a diszkriminánsát. Nullának kell lennie:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

A gyököt a képlet szerint számítjuk ki:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Második eset, p = −3. Az egyenlet alakja:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Kiszámítjuk a diszkriminánst:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kiszámítjuk a gyököt:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Az utolsó lépésben már csak azt számítjuk ki, mik az egyenlet megoldásai, ha a paraméter a ]−∞; −3[  ∪  ]3; +∞[ halmazból való. A diszkriminánst már kiszámítottuk, tehát a gyököket a képlet szerint számítjuk ki.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

A végén a törtet egyszerűsítettük kettővel. Ezek tehát a másodfokú egyenlet gyökei, ha a paraméter a ]−∞; −3[  ∪  ]3; +∞[ halmazból való. Ha a paraméter a ]−3; 3[ intervallumból való, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.