Παραμετρική εξίσωση δευτέρου βαθμού

Η παραμετρική εξίσωση δευτέρου βαθμού διαφέρει από την κοινή εξίσωση δευτέρου βαθμού στο ότι περιέχει επιπλέον μια παράμετρο, που συχνά τη συμβολίζουμε με λ ή μ. Ο στόχος μας είναι τότε να βρούμε τι λύσεις έχει η εξίσωση δευτέρου βαθμού ανάλογα με αυτήν την παράμετρο λ.

Πρώτο παράδειγμα

Έχουμε την ακόλουθη εξίσωση δευτέρου βαθμού με παράμετρο λ.

$$x^2+2\lambda x+9=0.$$

Ποιες διαφορετικές λύσεις έχει η εξίσωση ανάλογα με την παράμετρο λ; Μπορούμε να διακρίνουμε συνολικά τρεις περιπτώσεις – η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, η εξίσωση έχει δύο ίσες λύσεις και η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές λύσεις. Αυτές τις περιπτώσεις τις ξεχωρίζουμε με τη διακρίνουσα.

Η παράμετρος συμπεριφέρεται σαν σταθερά, δηλαδή για την προηγούμενη εξίσωση δευτέρου βαθμού ισχύει α = 1, β = 2λ και γ = 9. Τώρα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα όπως έχουμε συνηθίσει:

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =4{\lambda }^2-4\cdot 1\cdot 9=4{\lambda }^2-36.$$

Η διακρίνουσα βγήκε λοιπόν Δ= 4λ² − 36. Τώρα πρέπει να βρούμε πότε αυτή η διακρίνουσα είναι θετική, αρνητική και μηδέν.

Ξεκινάμε με την πιο απλή περίπτωση, όταν η διακρίνουσα είναι μηδέν. Λύνουμε λοιπόν την εξίσωση 4λ² − 36 = 0. Για ποια λ ισχύει αυτό; Αυτή είναι ελλιπής εξίσωση δευτέρου βαθμού και λύνεται εύκολα:

$$\begin{array}{rcl}4{\lambda }^2-36& =& 0\\ {\lambda }^2-9& =& 0\\ {\lambda }^2& =& 9\\ \lambda & =& \pm 3\end{array}$$

Αν η παράμετρος λ ισούται με συν ή πλην τρία, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει μία διπλή ρίζα.

Τώρα θα βρούμε πότε η διακρίνουσα είναι θετική. Λύνουμε λοιπόν την ανίσωση δευτέρου βαθμού

$$4{\lambda }^2-36>0.$$

Ξέρουμε ήδη τις ρίζες της συνάρτησης f(λ) = 4λ² − 36, τις υπολογίσαμε στο προηγούμενο βήμα. Από αυτές σχηματίζουμε δύο διαστήματα, ένα «εσωτερικό» και ένα «εξωτερικό».

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,+\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

Σε ένα από αυτά τα διαστήματα η συνάρτηση f(λ) είναι θετική, στο άλλο αρνητική. Το βρίσκουμε αν αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση κάποιο σημείο από ένα από τα διαστήματα. Το πιο απλό είναι να αντικαταστήσουμε από το διάστημα I₂ το μηδέν. Ισχύει ότι f(0) = 0 − 36 = −36. Στο διάστημα I₂ η συνάρτηση είναι λοιπόν αρνητική, στο διάστημα I₁ είναι θετική.

Από αυτό προκύπτει ότι στο διάστημα I₁ η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές λύσεις και στο διάστημα I₂ δεν έχει καμία πραγματική λύση. Μπορείς να δεις τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(λ) = 4λ² − 36. Στα σημεία συν και πλην τρία μηδενίζεται, στο διάστημα I₂ είναι αρνητική και στο διάστημα I₁ είναι θετική.

Υπολογισμός των ριζών της εξίσωσης

Τώρα μένει να υπολογίσουμε τις λύσεις της εξίσωσης στις περιπτώσεις όπου η εξίσωση έχει λύσεις. Ξεκινάμε με την περίπτωση όπου η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα, δηλαδή όταν η διακρίνουσα ισούται με μηδέν. Αυτό συμβαίνει όταν η παράμετρος ισούται με συν ή πλην την τετραγωνική ρίζα του εννιά.

Πρώτη περίπτωση, λ = 3. Η εξίσωση έχει τότε τη μορφή:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης. Πρέπει να βγει μηδέν:

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Υπολογίζουμε τη ρίζα με τον τύπο:

$$x=\frac{-\beta \pm \sqrt{0}}{2\alpha }=\frac{-6}{2}=-3.$$

Δεύτερη περίπτωση, λ = −3. Η εξίσωση έχει τη μορφή:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Υπολογίζουμε τη ρίζα:

$$x=\frac{-\beta \pm \sqrt{0}}{2\alpha }=\frac{6}{2}=3.$$

Στο τελευταίο βήμα μένει μόνο να υπολογίσουμε τι λύσεις έχει η εξίσωση, αν η παράμετρος ανήκει στο σύνολο (−∞,−3) ∪ (3, +∞). Τη διακρίνουσα την έχουμε υπολογίσει, άρα υπολογίζουμε τις ρίζες της εξίσωσης με τον τύπο.

$$x_{1,2}=\frac{-2\lambda \pm \sqrt{4{\lambda }^2-36}}{2}=\frac{-2\lambda \pm \sqrt{4({\lambda }^2-9)}}{2}=\frac{-2\lambda \pm 2\sqrt{{\lambda }^2-9}}{2}=-\lambda \pm \sqrt{{\lambda }^2-9}.$$

Στο τέλος απλοποιήσαμε το κλάσμα με το δύο. Αυτές είναι λοιπόν οι ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού, αν η παράμετρος ανήκει στο διάστημα (−∞,−3) ∪ (3, +∞). Αν η παράμετρος ανήκει στο διάστημα (−3, 3), τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματική λύση.