Andengradsligning med parameter

En andengradsligning med parameter adskiller sig fra en almindelig andengradsligning ved, at den desuden indeholder en parameter, som ofte kaldes p eller m. Vores opgave er så at finde ud af, hvilken løsning andengradsligningen har, afhængigt af denne parameter p.

Første eksempel

Vi har følgende andengradsligning med parameteren p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Hvilke forskellige løsninger har ligningen, afhængigt af parameteren p? Vi kan skelne mellem i alt tre tilfælde — ligningen har ingen løsning i de reelle tal, ligningen har to ens løsninger, og ligningen har to forskellige løsninger. Disse tilfælde skelner vi mellem ved hjælp af diskriminanten.

Parameteren opfører sig som en konstant, altså gælder der for den foregående andengradsligning, at a = 1, b = 2p og c = 9. Nu beregner vi diskriminanten, som vi plejer:

$$d=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Diskriminanten er altså d = 4p² − 36. Nu skal vi finde ud af, hvornår denne diskriminant er positiv, negativ og nul.

Lad os begynde med det enkleste tilfælde, hvor diskriminanten er nul. Vi løser altså ligningen 4p² − 36 = 0. For hvilke p gælder det? Det er en ren andengradsligning, og den løses nemt:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Hvis parameteren p er lig med plus eller minus tre, har andengradsligningen én dobbeltrod.

Nu løser vi, hvornår diskriminanten er positiv. Vi løser altså andengradsuligheden

$$4p^2-36>0.$$

Vi kender allerede nulpunkterne for funktionen f(p) = 4p² − 36, det beregnede vi i det foregående trin. Ud fra dem sammensætter vi to intervaller, et »indre« og et »ydre«.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& ]-\mathrm{\infty };-3[\cup ]3;\mathrm{\infty }[\\ I_2& =& ]-3;3[\end{array}$$

I det ene af disse intervaller er funktionen f(p) positiv, i det andet negativ. Det finder vi ud af ved at indsætte et punkt fra et af intervallerne i funktionen. Det enkleste er at indsætte nul fra intervallet I₂. Der gælder, at f(0) = 0 − 36 = −36. I intervallet I₂ er funktionen altså negativ, i intervallet I₁ er den positiv.

Heraf får vi, at ligningen i intervallet I₁ har to forskellige løsninger, og at den ikke har nogen reel løsning i intervallet I₂. Du kan se på grafen for funktionen f(p) = 4p² − 36. I punkterne plus og minus tre er den nul, i intervallet I₂ er den negativ, og i intervallet I₁ er den positiv.

Beregning af ligningens løsninger

Nu mangler vi at beregne ligningens løsninger i de tilfælde, hvor ligningen har løsninger. Vi begynder med det tilfælde, hvor ligningen har én dobbeltrod, altså når diskriminanten er lig med nul. Det er tilfældet, når parameteren er lig med plus eller minus kvadratroden af ni.

Første tilfælde, p = 3. Ligningen har så formen:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Vi beregner diskriminanten for denne ligning. Den skulle gerne blive nul:

$$d=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Vi beregner løsningen ved hjælp af formlen:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Andet tilfælde, p = −3. Ligningen har formen:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Vi beregner diskriminanten:

$$d=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Vi beregner løsningen:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

I det sidste trin mangler vi blot at beregne, hvilke løsninger ligningen har, hvis parameteren tilhører mængden ]−∞; −3[ ∪ ]3; ∞[. Diskriminanten har vi beregnet, så vi beregner ligningens løsninger ved hjælp af formlen.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Til sidst forkortede vi brøken med to. Det er altså løsningerne til andengradsligningen, hvis parameteren ligger i intervallet ]−∞; −3[ ∪ ]3; ∞[. Hvis parameteren ligger i intervallet ]−3; 3[, har ligningen ingen reel løsning.