Ecuación de segundo grado con parámetro

Una ecuación de segundo grado con parámetro se diferencia de una ecuación de segundo grado normal en que contiene además un parámetro, que se suele denotar como p o m. Nuestra tarea es averiguar qué soluciones tiene la ecuación de segundo grado en función de este parámetro p.

Primer ejemplo

Tenemos la siguiente ecuación de segundo grado con parámetro p.

$$x^2+2px+9=0.$$

¿Qué soluciones distintas tiene la ecuación en función del parámetro p? Podemos distinguir tres casos en total: la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, la ecuación tiene dos soluciones iguales y la ecuación tiene dos soluciones distintas. Estos casos los distinguimos con el discriminante.

El parámetro se comporta como una constante, es decir, para la ecuación de segundo grado anterior se cumple que a = 1, b = 2p y c = 9. Ahora calculamos el discriminante como estamos acostumbrados:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Así que el discriminante nos ha salido Δ= 4p² − 36. Ahora tenemos que averiguar cuándo este discriminante es positivo, negativo y nulo.

Empecemos por el caso más sencillo, cuando el discriminante es nulo. Resolvemos, pues, la ecuación 4p² − 36 = 0. ¿Para qué valores de p se cumple? Es una ecuación de segundo grado incompleta y se resuelve fácilmente:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Si el parámetro p es igual a más o menos tres, la ecuación de segundo grado tiene una solución doble.

Ahora resolvamos cuándo el discriminante es positivo. Resolvemos, pues, la inecuación de segundo grado

$$4p^2-36>0.$$

Ya conocemos los ceros de la función f(p) = 4p² − 36; los calculamos en el paso anterior. Con ellos formamos dos intervalos, uno «interior» y otro «exterior».

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,+\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

En uno de estos intervalos la función f(p) es positiva y en el otro negativa. Lo averiguamos sustituyendo en la función un punto de uno de los intervalos. Lo más sencillo es sustituir el cero, que pertenece al intervalo I₂. Se cumple que f(0) = 0 − 36 = −36. En el intervalo I₂ la función es, pues, negativa y en el intervalo I₁ es positiva.

De aquí obtenemos que en el intervalo I₁ la ecuación tiene dos soluciones distintas y en el intervalo I₂ no tiene ninguna solución real. Puedes mirar la gráfica de la función f(p) = 4p² − 36. En los puntos más y menos tres vale cero, en el intervalo I₂ es negativa y en el intervalo I₁ es positiva.

Cálculo de las soluciones de la ecuación

Ahora nos falta calcular las soluciones de la ecuación en los casos en que la ecuación tiene solución. Empezamos por el caso en que la ecuación tiene una solución doble, es decir, cuando el discriminante es igual a cero. Eso ocurre cuando el parámetro es igual a más o menos la raíz cuadrada de nueve.

Primer caso, p = 3. La ecuación tiene entonces la forma:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Calculamos el discriminante de esta ecuación. Debería salirnos nulo:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculamos la solución con la fórmula:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Segundo caso, p = −3. La ecuación tiene la forma:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Calculamos el discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calculamos la solución:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

En el último paso solo nos falta calcular qué soluciones tiene la ecuación si el parámetro pertenece al conjunto (−∞,−3) ∪ (3, +∞). Ya tenemos calculado el discriminante, así que calculamos las soluciones de la ecuación con la fórmula.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Al final hemos simplificado la fracción entre dos. Estas son, pues, las soluciones de la ecuación de segundo grado si el parámetro pertenece al intervalo (−∞,−3) ∪ (3, +∞). Si el parámetro pertenece al intervalo (−3, 3), la ecuación no tiene solución real.