Parametreli İkinci Dereceden Denklem

Parametreli ikinci dereceden denklem, sıradan ikinci dereceden denklemden ek olarak bir parametre içermesiyle ayrılır; parametre çoğunlukla p ya da m ile gösterilir. Bu durumda amacımız, ikinci dereceden denklemin çözümlerinin bu p parametresine göre nasıl değiştiğini bulmaktır.

İlk Örnek

p parametreli şu ikinci dereceden denklem verilsin.

$$x^2+2px+9=0.$$

Denklemin çözümleri p parametresine göre nasıl değişir? Toplam üç durumu ayırt edebiliriz: denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur, denklemin iki eşit çözümü vardır ya da denklemin iki farklı çözümü vardır. Bu durumları diskriminant ile ayırt ederiz.

Parametre bir sabit gibi davranır; yani önceki ikinci dereceden denklem için a = 1, b = 2p ve c = 9 olur. Şimdi diskriminantı alıştığımız gibi hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Yani diskriminant Δ= 4p² − 36 çıktı. Şimdi bu diskriminantın ne zaman pozitif, negatif ve sıfır olduğunu bulmamız gerekiyor.

En kolay durumdan başlayalım: diskriminantın sıfır olduğu durum. Yani 4p² − 36 = 0 denklemini çözeriz. Bu hangi p değerleri için sağlanır? Bu, eksik bir ikinci dereceden denklemdir ve kolayca çözülür:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

p parametresi artı 3 ya da eksi 3 olduğunda ikinci dereceden denklemin bir tane çakışık kökü vardır.

Şimdi diskriminantın pozitif olduğu durumu çözeriz. Yani şu ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz:

$$4p^2-36>0.$$

f(p) = 4p² − 36 fonksiyonunun sıfırlarını zaten biliyoruz; bir önceki adımda hesapladık. Bunlardan iki aralık oluştururuz: biri “iç”, diğeri “dış” aralık.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

Bu aralıkların birinde f(p) fonksiyonu pozitif, diğerinde negatiftir. Bunu, aralıklardan birinden bir nokta seçip fonksiyonda yerine yazarak buluruz. En kolayı, I₂ aralığından 0’ı yazmaktır. f(0) = 0 − 36 = −36 olur. Yani I₂ aralığında fonksiyon negatif, I₁ aralığında pozitiftir.

Buradan şunu elde ederiz: I₁ aralığında denklemin iki farklı çözümü vardır, I₂ aralığında ise gerçek çözümü yoktur. f(p) = 4p² − 36 fonksiyonunun grafiğine bakabilirsin. Fonksiyon artı 3 ve eksi 3 noktalarında sıfırdır, I₂ aralığında negatif, I₁ aralığında pozitiftir.

Köklerin Hesaplanması

Şimdi denklemin çözümü olduğu durumlarda çözümleri hesaplamamız kaldı. Denklemin bir tane çakışık kökünün olduğu, yani diskriminantın sıfır olduğu durumla başlayalım. Bu, parametrenin 9’un pozitif ya da negatif karekökü olduğu durumdur.

Birinci durum, p = 3. Denklem şu biçimi alır:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Bu denklemin diskriminantını hesaplarız. Sıfır çıkması gerekir:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kökü formüle göre hesaplarız:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

İkinci durum, p = −3. Denklem şu biçimdedir:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Diskriminantı hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kökü hesaplarız:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Son adımda, parametre (−∞,−3) ∪ (3, ∞) kümesinden bir değer olduğunda denklemin hangi çözümlere sahip olduğunu hesaplarız. Diskriminantı zaten hesapladık; bu yüzden denklemin köklerini formüle göre bulabiliriz.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Sonda kesri 2 ile sadeleştirdik. İşte parametre (−∞,−3) ∪ (3, ∞) aralığından bir değer olduğunda ikinci dereceden denklemin kökleri bunlardır. Parametre (−3, 3) aralığından bir değer ise denklemin gerçek çözümü yoktur.