Equazioni di secondo grado parametriche

Un’equazione di secondo grado parametrica si distingue da una normale equazione di secondo grado perché contiene in più un parametro, spesso indicato con p o m. Il nostro compito è stabilire quali soluzioni ha l’equazione di secondo grado in funzione di questo parametro p.

Primo esempio

Abbiamo la seguente equazione di secondo grado con il parametro p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Quali soluzioni ha l’equazione al variare del parametro p? Possiamo distinguere in tutto tre casi: l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali, l’equazione ha due soluzioni coincidenti e l’equazione ha due soluzioni distinte. Questi casi si distinguono con il discriminante.

Il parametro si comporta come una costante, cioè per l’equazione precedente vale a = 1, b = 2p e c = 9. Ora calcoliamo il discriminante come siamo abituati:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Il discriminante è quindi Δ= 4p² − 36. Ora dobbiamo scoprire quando questo discriminante è positivo, negativo e nullo.

Cominciamo dal caso più semplice, quando il discriminante è nullo. Dobbiamo quindi risolvere l’equazione 4p² − 36 = 0. Per quali p vale? Questa è un’equazione di secondo grado pura e si risolve facilmente:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Se il parametro p è uguale a più o meno tre, l’equazione di secondo grado ha una radice doppia.

Ora vediamo quando il discriminante è positivo. Dobbiamo quindi risolvere la disequazione di secondo grado

$$4p^2-36>0.$$

Conosciamo già gli zeri della funzione f(p) = 4p² − 36, li abbiamo calcolati nel passaggio precedente. Con essi costruiamo due intervalli, uno «interno» e uno «esterno».

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3;3)\end{array}$$

In uno di questi intervalli la funzione f(p) è positiva, nell’altro negativa. Lo scopriamo sostituendo nella funzione un punto di uno dei due intervalli. Il più semplice è sostituire lo zero, che sta nell’intervallo I₂. Vale f(0) = 0 − 36 = −36. Nell’intervallo I₂ la funzione è quindi negativa, nell’intervallo I₁ è positiva.

Ne ricaviamo che nell’intervallo I₁ l’equazione ha due soluzioni distinte e nell’intervallo I₂ non ha nessuna soluzione reale. Puoi osservare il grafico della funzione f(p) = 4p² − 36. Nei punti più e meno tre è nulla, nell’intervallo I₂ è negativa e nell’intervallo I₁ è positiva.

Calcolo delle radici dell’equazione

Ora ci resta da calcolare le soluzioni dell’equazione nei casi in cui esistono. Cominciamo dal caso in cui l’equazione ha una radice doppia, cioè quando il discriminante è uguale a zero. Succede quando il parametro è uguale a più o meno la radice quadrata di nove.

Primo caso, p = 3. L’equazione ha allora la forma:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Calcoliamo il discriminante di questa equazione. Deve venire nullo:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calcoliamo la radice con la formula:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Secondo caso, p = −3. L’equazione ha la forma:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Calcoliamo il discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Calcoliamo la radice:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Nell’ultimo passaggio calcoliamo infine quali soluzioni ha l’equazione se il parametro appartiene all’insieme (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Il discriminante l’abbiamo già calcolato, quindi calcoliamo le radici dell’equazione con la formula.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Alla fine abbiamo semplificato la frazione per 2. Queste sono quindi le radici dell’equazione di secondo grado se il parametro appartiene all’intervallo (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Se il parametro appartiene all’intervallo (−3; 3), l’equazione non ha soluzioni reali.